幂级数-习题课课件.ppt

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1、幂级数习题课一、主要内容函数项级数幂级数收敛半径R收敛域Taylor级数Taylor展开式１．幂级数(1)定义(2)收敛性对总存在正数Ｒ使得Ｒ－－收敛半径（－Ｒ，Ｒ）－－收敛区间注①形如的级数，求收敛域的收敛半径Ｒ－－原级数的收敛点应先求出－－原级数的发散点再研究②用公式求收敛半径应是的系数，否则可作代换或直接利用检比法或检根法来确定③求出收敛半径后必须用常数项级数审敛法判定端点处的敛散性的点的敛散性(3)幂级数的运算a.代数运算性质:b.和函数的分析运算性质:和函数连续，逐项微分，逐项积分收敛半径不变⑷

2、幂级数求和函数利用几个已知的展开式，如通过某些简单运算而求得ⅰ．化成两个幂级数的和，差，积，商ⅱ．作变量代换ⅲ．求导或积分通项形如先微后积通项形如先积后微步骤：①求收敛域②对进行运算保留所有的运算记号的运算结果要具体算出化成易求和的形式③再进行上述运算的逆运算得２．幂级数展开式(1)定义(2)充要条件(3)唯一性(４)展开方法a.直接法(泰勒级数法)步骤:根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式.b.间接法(５)常见函数展开式(６)应用欧拉公式的展开

3、式，并且要十分熟悉几何级数及函数间的微分关系２．求函数的幂级数展开式，必须相应地写出展开式成立的范围，３．对于不同类型的函数注意采用不同的展开方法和步骤有理分式－－化部分分式，利用几何级数展开反三角函数或对数函数－－先展开其导数，再逐项积分，但此时必须注意积分的下限注１．几个基本初等函数须直接展开，其它函数应尽量采用间接展开，但间接展开法必须牢记二、典型例题例１求收敛域解收敛半径收敛半径若则原级数成为由于收敛原级数成为发散故收敛域为若则收敛收敛发散收敛原级数成为绝对收敛收敛绝对收敛原级数收敛原级数成为收敛

4、原级数收敛故收敛域为解收敛域例２　求和函数令积分求导令求导积分故注意先微后积，收敛域可能扩张先积后微，收敛域可能收缩例３求级数和解考虑幂级数由乘以x求导再乘以x再求导例４解两边逐项积分例５解或积分例６解求的幂级数展开式及其收敛半径并求解由于收敛半径为且例7　设例8　设求解一由Leibniz公式令得由得解二故