幂级数习题课.ppt

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1、•标准形式幂级数:先求收敛半径再讨论•非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法处的敛散性.求幂级数收敛域的方法例5求下列幂级数的收敛域：解1．考虑级数及，容易得到，收敛域分别及，故原级数的收敛域为．易知一般项趋于零，注意到因即得级数的收敛半径为1，收敛区间为．当时，级数为是交错级数，上述级数变为故数列当时单调减少，从而由交错级数审敛法知此时级数收敛．当时，级数为，由于当时，故此时级数发散．因此原级数的收敛域为．解:因故收敛区间为级数收敛;一般项不趋于0,级数发散;分析:级数缺少奇次幂项,不能直接应用公式求收敛半径,可由比值审敛法求收敛半径

2、.注：可令转化为标准形式求收敛半径.例6.解:分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数极限不存在∵原级数=∴其收敛半径注意:•求部分和式极限求和•映射变换法逐项求导或求积分对和式积分或求导难直接求和:直接变换,间接求和:转化成幂级数求和,再代值求部分和等•初等变换法:分解、套用公式（在收敛区间内）•数项级数求和幂级数和函数的求法常用已知和函数的幂级数例7求下列函数的和函数：解法1．1．；2．．为，设其和函数为，则易求出级数的收敛域根据幂级数性质，有因此法2显然x=0时上式也正确,故和函数为而在x≠0级数发散,记则法1显然幂级数收敛域为，当时，令故因，且，故法2显然

3、x=0时,和为0;根据和函数的连续性,有x=1时,级数也收敛.即得例8.求幂级数法1易求出级数的收敛域为法2先求出收敛区间则设和函数为•直接展开法—利用泰勒公式函数的幂级数展开法(1)f(x)展开成的幂级数，(2)f(x)展开成x的幂级数,“f(x)展开成x的幂级数”步骤：第一步求函数及其各阶导数在x=0处的值;第二步写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径R;第三步判别在收敛区间(－R,R)内是否为0.如果为零，则函数f(x)在收敛区间内展开成x的幂级数为•间接展开法—利用已知展式的函数及幂级数性质2.常用函数的幂级数展开式特别地：例9求下列函数的麦克劳林级

4、数(只需指出收敛区间)：解1．