专题20-空间直线、平面平行位置关系的证明方法.doc

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1、第20讲：空间直线、平面平行位置关系的证明方法【考纲要求】1、理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理。　　◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内。　　◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。　　◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。　　理解以下性质定理，并能够证明。　　◆如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行。（记为线面平行，则线线平行）◆如果两个平面平行

2、，则其中一个平面内的任意一条直线都和另外一个平面平行。（记为面面平行，则线面平行）◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行。　　◆垂直于同一个平面的两条直线平行。　　3、能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。4、空间向量的应用　　①理解直线的方向向量与平面的法向量.　　②能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.【基础知识】一、空间直线、平面平行位置关系的判定和证明空间直线、平面平行位置关系的判定和证明一般有两种方法。方法一（几何法）：线线平行线面平行面

3、面平行，它体现的主要是一个转化的思想。位置关系定义判定定理性质定理直线和平面平行直线和平面没有公共点。如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（记为：线线平行，则线面平行）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行。（记为：线面平行，则线线平行）平面和平面平行①①如果两个平面没有公共点，则这两个平面互相平行[来源:学科网ZXXK]如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（记为：线面平行，则面面平行）②如果一个

4、平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行。[来源:学*科*网]如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任何一条直线平行于另一个平面。（记为：面面平行，则线面平行）②如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。③平行于同一个平面的两个平面平行。④两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例。⑤夹在两个平行平面间的两条平行线段相等。方法二（向量法）：它体现的是数学的转化的思想和向量的工具性。其中向量是直线的方向向量，且向量是平面的法向量，且例1如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点S是

5、平面ABCD外一点，M是SC的中点，在DM上取一点G，过G和AS作平面交平面BDM于GH，求证：AS∥GH.证明：连结AC交BD于O，连结MO.因为四边形ABCD是平行四边形，所以O为AC的中点.又M为SC的中点，所以OM∥SA，所以SA∥平面BMD.又平面SAHG∩平面BMD=GH，所以AS∥GH.例2如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点.[来源:Z#xx#k.Com](Ⅰ)证明：EF∥平面PAD；(Ⅱ)求三棱锥E—ABC的体积V.解：

6、(Ⅰ)在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.又BC∥AD,∴EF∥AD,又∵AD平面PAD,EF平面PAD,∴EF∥平面PAD.(Ⅱ)连接AE,AC,EC,过E作EG∥PA交AB于点G,则BG⊥平面ABCD,且EG=PA.在△PAB中，AD=AB,PAB°,BP=2,∴AP=AB=,EG=.∴S△ABC=AB·BC=××2=,∴VE-ABC=S△ABC·EG=××=.【变式演练2】在长方体ABCD－A1B1C1D1中，DA＝DC＝2，DD1＝，E是C1D1的中点，F是CE的中点．(1)求证：EA∥平面BD

7、F；(2)求证：平面BDF⊥平面BCE；(3)求二面角D－EB－C的正切值．例3如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？解：当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA.∵P、O为DD1、DB的中点，∴D1B∥PO.又PO∩PA=P，D1B∩QB=B，D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，∴平面D1BQ∥平面PAO.求证：（1）BF∥HD1

8、；（2）EG∥平面BB1D1D；（3）平面BDF∥平面B1D1H.例4如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，，的中点，，．（I）设是的中点，证明：平面；（II）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离．证明：（I）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、O