空间直线、平面位置关系

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1、第7模块第3节[知能演练]一、选择题1．已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，则c与b(　　)A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线解析：a，b是异面直线，直线c∥直线a.因而cb，否则，若c∥b，则a∥b与已知矛盾，因而cb.答案：C2．四面体每相对两棱中点连一直线，则此三条直线(　　)A．互不相交B．至多有两条直线相交C．三线相交于一点D．两两相交有三个交点解析：利用三角形的中位线定理可知三线交于一点．答案：C3．若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则(　　)A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直C．过点P有

2、且仅有一条直线与l、m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面解析：对于选项A，若过点P有直线n与l，m都平行，则l∥m，这与l，m异面矛盾；对于选项B，过点P与l、m都垂直的直线，即过P且与l、m的公垂线段平行的那一条直线；对于选项C，过点P与l、m都相交的直线有一条或零条；对于选项D，过点P与l、m都异面的直线可能有无数条．答案：B4．正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　)A.B.C.D.解析：连接D1C，AC，易证A1B∥D1C，∴∠AD1C即为异面直线A1B与AD1所成的角．设AB＝1，则AA1＝2，AD1＝D1C＝

3、，AC＝，∴cos∠AD1C＝＝.∴异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.答案：D二、填空题5．如图所示，在三棱锥C－ABD中，E、F分别是AC和BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角是________．解析：取CB中点G，连接EG、FG，∴EG∥AB，FG∥CD.∴EF与CD所成的角为∠EFG.又∵EF⊥AB，∴EF⊥EG.在Rt△EFG中，EG＝AB＝1，FG＝CD＝2，∴sin∠EFG＝，∴∠EFG＝30°.∴EF与CD所成的角为30°.答案：30°6．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________．(写出所有正确

4、结论的编号)．①矩形②不是矩形的平行四边形③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体④每个面都是等边三角形的四面体⑤每个面都是直角三角形的四面体解析：分两种情况：4个顶点共面时，几何体一定是矩形；4个顶点不共面时，③④⑤都有可能．答案：①③④⑤三、解答题7．有一矩形纸片ABCD，AB＝5，BC＝2，E，F分别是AB，CD上的点，且BE＝CF＝1，如下图(1)．现在把纸片沿EF折成图(2)形状，且∠CFD＝90°.(1)求BD的距离；(2)求证：AC，BD交于一点且被该点平分．(1)解：将平面BF折起后，补成长方体AEFD－A1BCD1，则BD恰好是长方体的一条对角线．因为AE，E

5、F，EB两两垂直，所以BD恰好是以AE、EF、EB为长、宽、高的长方体的对角线．所以BD＝＝＝.(2)证明：因为AD綊EF，EF綊BC，所以AD綊BC.所以点A、C、B、D在同一平面内，且四边形ABCD为平行四边形．所以AC、BD交于一点且被该点平分．8．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60°，并加以证明．解：设AP＝x(0≤x≤2)，利用PF与BC所成的角是60°来构建以x为元的方程，再解x就确定了点P的位置．如下图，∵ABCD是边长为的正方形，∴AC＝2.设AP＝x(0≤x≤2)，作PQ⊥AB交AB

6、于Q，则PQ∥BC，相交直线PF与PQ所成的角是异面直线PF与BC所成的角．∵平面ABCD⊥平面ACEF，∴AF⊥AC，AF⊥平面ABCD，AF⊥PQ.∵AB∩AF＝A，∴PQ⊥平面ABF，PQ⊥FQ.要使PF与BC所成角是60°，只需使∠FPQ＝60°，即只需使PF＝2PQ，∵PQ＝AP＝x，∴只需使PF＝x.又在Rt△APF中，PF＝＝，∴x＝.∴x＝1.∴当P点是线段AC的中点时PF与BC所成的角为60°.[高考·模拟·预测]1．(2009·湖南高考)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱上到异面直线AB，CC1的距离相等的点的个数为(　　)A．2B．3C．4D．5解析：由下图观察可知，正

7、方体棱上到异面直线AB、CC1的距离相等的点为点D，B1，线段BC的中点E，线段A1D1中点F，总共4个，故选C.答案：C2．(2009·全国Ⅰ)已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为(　　)A.B.C.D.解析：设棱长为2，BC的中点为D，由题意，得AD＝.在Rt△A1AD中，A1D＝＝＝1.在Rt△A