拉格朗日中值定理课件.pptx

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1、拉格朗日中值定理及其应用一、拉格朗日中值定理定理1.设函数f(x)满足(1)在闭区间[a,b]上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；则至少存在一点分析与罗尔定理相比，拉格朗日中值定理中缺少条件是f(a)=f(b).如果能由f(x)构造一个新函数使在[a,b]上满足罗尔定理条件，且由能导出则问题可解决.证令由于f(x)在[a,b]上连续，因此在[a,b]上连续.由于f(x)在(a,b)内可导，因此在(a,b)内可导.又由于因此在[a,b]上满足罗尔定理条件，所以至少存在一点，使，即从而有几何解释:如果f(x)在(a,b)内可导，则

2、在以为端点的区间上f(x)也满足拉格朗日中值定理，即因此又称拉格朗日中值定理为有限增量定理.其中为之间的点.也可以记为或推论1若在(a,b)内恒等于零，则f(x)在(a,b)内必为某常数.事实上，对于(a,b)内的任意两点，由拉格朗日中值定理可得由拉格朗日中值定理可以得出积分学中有用的推论：位于x1，x2之间，故有f(x1)=f(x2).由x1，x2的任意性可知f(x)在(a,b)内恒为某常数.推论2若在(a,b)内恒有　　，则有其中C为某常数.由推论1可知f(x)－g(x)=C，即f(x)=g(x)+C.f(x)=g(x)+C,

3、事实上，由已知条件及导数运算性质可得例1函数在区间[－1,3]上满足拉格朗日中值定理的=().由于在[－1,3]上连续，在(－1,3)内可导，因此f(x拉格朗日中值定理条件.)在[－1,3]上满足分析由拉格朗日定理可知，必定存在由于f(b)=f(3)=16,f(a)=f(－1)=4,而二、拉格朗日中值定理的应用可解得，因此本例应选D.例2当x>0时,试证不等式分析取f(t)=ln(1+t)，a=0，b=x.则f(t)=ln(1+t)在区间[0,x]上满足拉格朗日中值定理，因此必有一点使得.说明本例中，若令y=lnt，a=1，b=1

4、+x，亦可利用拉格朗日中值定理证明所给不等式.这表明证明不等式时，f(x)与[a,b]的选取不是唯一的.即进而知谢谢大家