量子力学习题课资料讲解.ppt

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1、Ex.1.下列一组波函数共描写粒子的几个不同状态?并指出哪几个波函数描写同一状态。、Ex.2.已知一微观粒子的动量以等概率取三个可能值、和，试写出其状态波函数。答：上列一组波函数共描写粒子的三个不同状态。、两个波函数描写粒子的同－状态。其中，三个波函数描写粒子的同－状态。、、描写粒子的－状态。解：1Ex.3.已知下列两个波函数试判断:（并说明其理由）(1)波函数和是否描述同一状态?(2)对取两种情况,得到的两个波函数是否等价?2(1)即和线性相关，故它们描述粒子的同一状态。当为奇数时，有当为偶数时，有(2)因是的奇函数，在两种情况下,两波函数仅相差－负号，故得到的两个波函数等价。解：因3答：

2、（1）由波函数描述的状态称为定态。②.处在定态中的粒子，其概率密度与时间无关。③.处在定态中的粒子，其概率流密度与时间无关。其特征有：①.处在定态中的粒子，其能量有确定值。回答下列问题（1）什么是量子力学中的定态？它有什么特征？Ex.4.（2）什么是量子力学中的守恒律？它的物理意义是什么？4它的物理意义是粒子既未产生也未消灭，粒子数守恒。称为量子力学中的守恒律；（2）概率密度与概率流密度所满足的微分方程及积分式5一、力学量与算符1．算符的定义2.厄米算符的定义及其性质定义性质：⑴、厄米算符的本征值是实数；⑵、属于不同本征值的本征函数正交。第三章复习63．力学量与厄米算符的关系假设：力学量用厄

3、米算符表示，表示力学量的厄米算符有组成完全系的本征函数系；若量子力学中的力学量在经典力学中有相应的力学量，则表示该力学量的算符由经典表示中将动量换成动量算符而得出：7二、力学量的测量值与力学量算符关系：假设：力学量算符的本征值是力学量的可测量值。将体系的状态波函数用算符的本征函数系展开则在态中测量力学量得到结果为的概率是，得到结果在范围内的概率是★8★力学量的平均值本征函数：本征值：力学量算符本征方程方法二：方法一：9三、力学量算符之间的关系1．算符的对易关系（1）基本对易关系（2）角动量算符的对易关系定理若算符和具有共同的本征函数完全系，则和必对易。2．两个定理逆定理若算符与对易，则它们具

4、有共同的本征函数完全系103．不同力学量同时可测定的条件：力学量算符彼此对易。4．测不准关系四、力学量算符的本征值问题：11五、力学量随时间的变化与守恒律常量或1．动量算符的本征值问题；2．、的本征值问题；3．中心力场问题；氢原子问题。12解：例1、一维谐振子处在基态求：（1）势能的平均值（2）动能的平均值（1）13（2）14例2.宽度为的一维无限深势阱中运动的粒子处在由波函数描写的状态，为归一化常数，求粒子能量的概率分布和能量期望值。解：先求归一化系数15无限深势阱中粒子能量算符的本征函数能量的概率分布为16能量期望值利用故17例3、设氢原子的状态为求：（1）氢原子能量、轨道角动量平方的可

5、能值，这些可能值出现的概率及它们的平均值。（2）轨道角动量分量的可能值及这些可能值出现的概率和这些力学量的平均值。（其中为常数）C解：由归一化条件求得归一化常数归一化波函数为18能量可能值出现的概率平均值（1）由题可知角动量平方可能值，出现的概率为1平均值例题二（续2）（2）轨道角动量分量的可能值有出现的概率分别是和平均值19例4、一电子处在宽度为的无限深方势阱的基态上，阱的两壁突然反向运动，使阱宽变为，求粒子留在基态的概率。解：将轴坐标原点取在阱中心。对于宽度为的阱，能量本征函数为对于宽度为的阱，能量本征函数为20将按展开粒子留在基态的概率21（1）若两个力学量算符有共同本征态，则它们彼此

6、对易。例4、判断下列提法的正误，并举例说明。（2）若两个力学量算符不对易，则它们定无共同本征态。（3）在任一态中，两对易的力学算符所表示的两力学量均可测定。（×）（×）（×）（4）角动量分量和能有共同本征态，但无共同的本征函数完全系。（√）（5）自由粒子处于定态，则动量有确定值。（√）22