高数复习练习题1答案.doc

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1、一、填空题（每题3分，共39分）1．设，则=.2．极限=2.3．设函数在点处取得极值，则常数-5.4．函数的全微分为.5．已知平面区域D是由直线，及所围成，则=06．微分方程满足初始条件的特解为.7．设是微分方程的三个不同的解，且常数，则微分方程的通解为.8．周期为的函数，它在一个周期上的表达式为，则的傅里叶级数的和函数在处的值为0.9．设为平面在第一卦限中的部分，则=.10．曲线在对应的点处的法平面方程是.11.设L为下半圆周，则对弧长的曲线积分=.12．函数展开为的幂级数的形式为13．若级数收敛，则-1二、（5分）函数由方程所确定，其中有连续导数，是不全为

2、零的常数，证明：证明：方程两边同时对求偏导得故三、（5分）设，求解：四、（6分）求微分方程满足条件的特解.解：特征方程为：特征根为：对应齐次方程的通解是：设原方程的特解为：，将其代入原方程待定系数得.所以故原方程的通解为由解得因此所求的特解是五、（6分）计算二重积分，其中.解:六、（5分）利用格林公式，计算，其中L为以围成区域的正向边界.解:七、（6分）设是由曲线绕轴旋转而成的曲面.(1)写出的方程.（2）计算，其中取下侧.解:(1)的方程是.(2)设为的上侧，则八、（6分）求幂级数的收敛半径与收敛区间，并求出它在收敛区间内的和函数.解：收敛半径，收敛区间为，

3、九、（5分）设是收敛的正项级数，收敛.试讨论的敛散性，并说明理由.解:是绝对收敛的.因为收敛,所以部分和有界,从而数列有界即存在常数，使，故由于是收敛的正项级数，由比较审敛法知，绝对收敛.十、（6分）设可导函数满足，求.解：方程两边对求导得　　　　　　　即　　　　　　　求解上面的一阶线性微分方程得　　　　　　由于，所以，故十一、（5分）证明:为某二元函数的全微分，并求，计算.解　因为　　　　　　　　所以为某二元函数的全微分　　　　　　　　故　　　　　十二、（6分）求抛物面的一个切平面，使它与抛物面及圆柱面所围成的立体的体积最小，并求出最小的体积，写出所求切平面

4、方程.解：设，得抛物线在处的切平面方程为　　　即　　　该平面与抛物面及圆柱面所围成的立体的体积为　　　解　　　　　得，由提意可知的最小值一定存在，且只有一个驻点，故可断定的最小值为，切平面为