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1、直线和抛物线的位置关系一、直线和抛物线的位置关系方程组两组解相交方程组没有解相离方程组一组解相切若消元得到一次方程，直线和抛物线的对称轴平行或重合,为相交关系.若消元得到二次方程,则思考：只有一个交点一定是相切吗？xOy判断直线与抛物线位置关系的操作程序把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与抛物线的对称轴平行或重合相交（一个交点）计算判别式>0=0<0相交相切相离例1求过定点P（0，1）且与抛物线只有一个公共点的直线的方程.由{得{故直线x=0与抛物线只有一个交点.解:(1)若直线斜率不存在,则过点P的直线方程是x=0.由方程组{消去y得(2)若直线斜率
2、存在,设为k,则过P点的直线方程是当k=0时，x=,y=1.故直线y=1与抛物线只有一个交点.y=kx+1,xyO当k≠0时，若直线与抛物线只有一个公共点，则此时直线方程为综上所述，所求直线方程是x=0或y=1或练习：当k为何值时,直线y=kx+1与抛物线(1)相交,(2)相切,(3)相离?解：由方程组{消去y，并整理得当K≠0时，该方程是一元二次方程,所以综上所述，当k<1时直线和抛物线相交且k=0时交于一点;当k=1时，直线和抛物线相切;当k>1时直线和抛物线相离.当k=0时， 直线方程为y=1，与抛物线交于一点例2：在抛物线上求一点，使它到直线2x-y-4=0的距离最小.
3、解：设P(x,y)为抛物线上任意一点，则P到直线2x-y-4=0的距离此时y=1，所求点的坐标为P(1,1).当且仅当x=1时，，另解:观察图象可知,平移直线至与抛物线相切,则切点即为所求.联立得设切线方程为2x-y+C=0，由得C=-1又由（）得x=1，∴y=1.故所求点的坐标是（1，1）.点评：此处用到了数形结合的方法.2x-y-4=0xyOp1.过点(0,2)与抛物线只有一个公共点的直线有(）（A）1条(B)2条(C)3条(D)无数多条C.P互动练习2.在抛物线y2=64x上求一点，使它到直线Ｌ：4x+3y+46=0的距离最短，并求此距离。分析：抛物线上到直线Ｌ距离最短的
4、点，是和此直线平行的切线的切点。yxy2=64x4x+3y+46=0解：∵无实根∴直线与抛物线相离设与4x+3y+46=0平行且与y2=64x相切的直线方程为y=-4/3x+bL·P则由y=-4/3x+by2=64x消x化简得y2+48y-48b=0△=482-4×(-48b)=0∴b=-12∴切线方程为：y=-4/3x-12y=-4/3x-12y2=64x解方程组得x=9y=-24∴切点为P（9，-24）切点P到Ｌ的距离d=∴抛物线y2=64x到直线Ｌ：4x+3y+46=0有最短距离的点为P（9，-24），最短距离为2。3、斜率为1的直线L经过抛物线的焦点F,且与抛物线相交于
5、A,B两点,求线段AB的长.y2=4x二、抛物线的焦点弦性质例1.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(1)
6、AB
7、=x1+x2+p(2)通径长为2p(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;(4)若直线AB的倾斜角为θ,则
8、AB
9、=2p/sin2θ(5)以AB为直径的圆与准线相切.(6)焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。xOyABFθxOyABF过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(1)
10、AB
11、=x1+x2+p(2)通径长为2p
12、AXyOFBlA1M1B1M过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(5)以AB为直径的圆与准线相切.故以AB为直径的圆与准线相切.XyFAOBA1B1过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(6)焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。123456过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;证明：思路分析：韦达定理xOyABFxOyABFF
13、过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;法3：利用性质焦点F对A、B在准线上射影的张角为90°。代入抛物线得y2－２ｐmｙ－２ｐs＝０，练习(1).若直线过定点M(s,0)(s>0)与抛物线y2=2px(p>0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),求证:x1x2=s2;y1y2=-2ps.证明：设AB的方程为ｘ=mｙ＋s（m∈Ｒ）(2).若直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A
