范数与条件数课件.ppt

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1、第三章线性方程组求解的数值方法第二节范数与条件数为了研究线性方程组近似解的误差估计和迭代法的收敛性，引进向量（矩阵）的范数的概念。向量范数（Vectornorm）公理化定义：向量范数：满足如下性质的函数：正定性齐次性三角不等性向量范数例：判断下面那些是向量范数，那些不是，不满足那些性质。lp范数：√√√最常用的范数不满足性质3×不满足性质2×向量范数的几何意义P=0.4范数P=1范数P=2范数P=5范数P大于1，p范数为凸函数P小于1，p范数不为凸函数范数的凸性对求解最优化问题很重要。除了范数等于0以外，任意范

2、数取值都对应无穷多向量，上述向量构成了高维空间的连续曲面。向量范数的几何意义clearall%closeallclc%figureholdonaxisequalp=0.4;foriii=1:200t=(iii-1)/200*pi/2;x1=(sin(t)).^(2/p);y1=(cos(t)).^(2/p);plot((x1),(y1),'r')plot((-x1),(y1),'r')plot((x1),(-y1),'r')plot((-x1),(-y1),'r')end利用参数法绘制等范数曲线。向量范数应用应

3、用：判断向量的大小×向量不能比大小√向量通过定义范数比大小向量范数应用最重要的用途之一：分析向量收敛性，定义向量的极限：ξ-δ语言描述：向量范数的等价性定理向量范数的等价性定理：推论：向量序列在某范数下收敛，则在任意范数下收敛。收敛到同一值。矩阵范数（Matrixnorm）满足性质1~4的的函数矩阵范数：Frobenius范数：—向量

4、

5、·

6、

7、2的直接推广正定性齐次性三角不等性任意矩阵范数等价矩阵范数应用：病态问题分析迭代算法的收敛性矩阵的算子范数（Inducednorm）算子（诱导）范数：由向量范数导出的矩阵

8、范数：常见算子范数：列和范数行和范数谱范数矩阵的算子范数例：已知矩阵A，求算子1范数和算子∞范数。矩阵范数的性质相容性：设‖‖a是向量范数，‖‖m是矩阵范数则矩阵范数‖‖m为与向量范数‖‖a相容的矩阵范数。矩阵范数相容性：设‖‖矩阵范数，满足：则矩阵范数‖‖为相容矩阵范数。矩阵范数的性质性质1：算子范数与其对应的向量范数相容，即：性质2：算子范数是相容范数：矩阵范数与谱半径的关系性质3：对于任意算子范数有：证明：定义：矩阵A的谱半径记为(A)=，其中i为A的特征根。矩阵范数与谱半径的关系性质4：若A对称矩阵

9、，则有：若是A的一个特征根，则2必是A2的特征根。若（最大特征根），则02必是A2的最大特征根。证明：范数概念结构底层概念继承了顶层概念的性质。常用范数。病态问题“良态”问题和“病态”问题若原始数据有很小的变化δx，对应的输出变化δy也很小，则称该数学问题是良态问题；若δy很大，则称为病态问题病态问题中，结果对于数据的变化率都很大（很敏感），因此数据微小变化必将导致参数模型精确解的很大变化数学问题的病态问题完全取决于该数学问题本身的属性，在采用数值方法求解之前就存在，与数值方法无关。线性方程组的病态问题

10、上述两组解都是对应方程的真实解，因此，病态问题与算法无关。方程系数变化很小，但方程的解变化很大从系统角度分析，系统输入很小误差，对结果产生很大影响。线性方程组的病态问题问题一：b存在扰动：给定方程组Ax=b，其解为x*，另给定包含误差方程组Ax=b+e，其解为x’，分析其误差。相容性线性方程组的病态问题问题二，A存在扰动：给定方程组Ax=b，其解为x*，给定包含误差方程组（A+E）x=b，其解为x’，分析误差（A+E可逆）令x’=x*+δx，将方程（A+E）x’=b与Ax*=b做差，并展开，得到：误差很小情况下

11、。矩阵范数性质5矩阵范数的性质性质：证明：上页证明中用到了如下性质：线性方程组的病态问题问题三，A，b都存在扰动：给定方程组Ax=b，其解为x*，另给定包含误差方程组（A+E）x=b+e，其解为x’，分析误差。条件数的性质当条件数很大时,方程组Ax=b是病态问题；当条件数较小时,方程组Ax=b是良态问题。条件数的性质1、一个问题的病态性与算法有关。×2、无论问题好坏，好的算法都可得到其近似解。×3、提高计算精度，可改变系统病态性。×4、假设A的条件数为1，下面那些矩阵条件数也是1？（1）cA（2）QA,Q为正交

12、矩阵（3）DA，D为对角矩阵（4）A的逆矩阵（5）BA，B为非奇异矩阵（6）A的转置矩阵注：A与A的转置具有相同的特征值。注意：条件数是矩阵的特征，与算法无关。条件数与所选择的范数有关，不同范数计算的条件数不同。Hilbert矩阵典型的病态矩阵-Hilbert矩阵：利用matlab函数“hilb”，产生3阶、5阶、7阶……Hilbert矩阵,用matlab函数“cond”计算相应的条件