专题03 导数及其应用——2020年高考真题和模拟题文科数学分项汇编（解析版）.docx

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1、专题03导数及其应用2020高考真题1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为.【答案】【解析】设切线的切点坐标为，，所以切点坐标为，所求的切线方程为，即.故答案为：.【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.2．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】设函数．若，则a=_________．【答案】1【解析】由函数的解析式可得：，则：，据此可得：，整理可得：，解得：.故答案为：.【点睛】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题.3．【2020年高考北京】为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理

2、，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________．【答案】①②③【解析】表示区间端点连线斜率的负数，在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力

3、比乙企业强；①正确；甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强．④错误；在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：①②③【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.4．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.【解析】（1）当a=1时，f（x）=ex–x–2，则=ex–1．当

4、x<0时，<0；当x>0时，>0．所以f（x）在（–∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．（2）=ex–a．当a≤0时，>0，所以f（x）在（–∞，+∞）单调递增，故f（x）至多存在1个零点，不合题意．当a>0时，由=0可得x=lna．当x∈（–∞，lna）时，<0；当x∈（lna，+∞）时，>0．所以f（x）在（–∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增，故当x=lna时，f（x）取得最小值，最小值为f（lna）=–a（1+lna）．（i）若0≤a≤，则f（lna）≥0，f（x）在（–∞，+∞）至多存在1个零点，不合题意．（ii）若a>，则f（lna）<0

5、．由于f（–2）=e–2>0，所以f（x）在（–∞，lna）存在唯一零点．由（1）知，当x>2时，ex–x–2>0，所以当x>4且x>2ln（2a）时，．故f（x）在（lna，+∞）存在唯一零点，从而f（x）在（–∞，+∞）有两个零点．综上，a的取值范围是（，+∞）．【点睛】本题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲线和直线有两个交点，利用过点的曲线的切线斜率，结合图形求得结果.5．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数f（x）=2lnx+1．（1）若

6、f（x）≤2x+c，求c的取值范围；（2）设a>0时，讨论函数g（x）=的单调性．【解析】设h(x)=f(x)−2x−c，则h(x)=2lnx−2x+1−c，其定义域为(0，+∞)，.（1）当00；当x>1时，h'(x)<0.所以h(x)在区间(0，1)单调递增，在区间(1，+∞)单调递减.从而当x=1时，h(x)取得最大值，最大值为h(1)=−1−c.故当且仅当−1−c≤0，即c≥−1时，f(x)≤2x+c.所以c的取值范围为[−1，+∞).（2），x∈(0，a)∪(a，+∞).取c=−1得h(x)=2lnx−2x+2，h(1)=0，则由（1）

7、知，当x≠1时，h(x)<0，即1−x+lnx<0.故当x∈(0，a)∪(a，+∞)时，，从而.所以在区间(0，a)，(a，+∞)单调递减.【点睛】本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题，以及利用导数判断含参函数的单调性，考查了数学运算能力，是中档题.6．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有三个零点，求的取值范围．【解析】（1）．当k=0时，，故在单调递增；当k<0时，，故在单调递增．当k>0时，令，得．当时，；当时，；当时，．故在，单调递增，在单调递减．（2）由（1）知，当时，在单调递增，不可能有三个零