专题03 导数及其应用——2020年高考真题和模拟题理科数学分项汇编（解析版）.docx

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1、专题03导数及其应用2020年高考真题1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】函数的图像在点处的切线方程为A．B．C．D．【答案】B【解析】，，，，因此，所求切线的方程为，即.故选：B．【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题.2．【2020年高考全国III卷理数】若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为A．y=2x+1B．y=2x+C．y=x+1D．y=x+【答案】D【解析】设直线在曲线上的切点为，则，函数的导数为，则直线的斜率，设直线的方程为，即，由于直线与圆相切，则，两边

2、平方并整理得，解得，（舍），则直线的方程为，即.故选：D．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.3．【2020年高考北京】为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在时刻

3、，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________．【答案】①②③【解析】表示区间端点连线斜率的负数，在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强．④错误；在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在时刻，甲

4、、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：①②③【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.4．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数.（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.【解析】（1）当a=1时，f（x）=ex+x2–x，则=ex+2x–1．故当x∈（–∞，0）时，<0；当x∈（0，+∞）时，>0．所以f（x）在（–∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．（2）等价于.设函数

5、，则.（i）若2a+1≤0，即，则当x∈（0，2）时，>0.所以g（x）在（0，2）单调递增，而g（0）=1，故当x∈（0，2）时，g（x）>1，不合题意.（ii）若0<2a+1<2，即，则当x∈(0，2a+1)∪(2，+∞)时，g'(x)<0；当x∈(2a+1，2)时，g'(x)>0.所以g(x)在(0，2a+1)，(2，+∞)单调递减，在(2a+1，2)单调递增.由于g(0)=1，所以g(x)≤1当且仅当g(2)=(7−4a)e−2≤1，即a≥.所以当时，g(x)≤1.（iii）若2a+1≥2，即，则g(x)

6、≤.由于，故由（ii）可得≤1.故当时，g(x)≤1.综上，a的取值范围是.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．5．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数．（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；（2）证明：；

7、（3）设，证明：．【解析】（1）．当时，；当时，．所以在区间单调递增，在区间单调递减．（2）因为，由（1）知，在区间的最大值为，最小值为．而是周期为的周期函数，故．（3）由于，所以．6．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．（1）求B．（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．【解析】（1）．依题意得，即.故．（2）由（1）知，.令，解得或.与的情况为：x+0–0+因为，所以当时，只有大于1的零点.因为，所以当时，f（x）只有小于–1的零点．由题

8、设可知，当时，只有两个零点和1.当时，只有两个零点–1和.当时，有三个等点x1，x2，x3，且，，．综上，若有一个绝对值不大于1的零点，则所有零点的绝对值都不大于1.7．【2020年高考天津】已知函数，为的导函数．（Ⅰ）当时，（i）求曲线在点处的切线方程；（ii）求函数的单调区间和极值；（Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有．【解析】（Ⅰ）（i）当时，，故．可得，，所以曲线在