计算方法-第6章-1、解线性方程组的迭代法课件.ppt

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1、第六章解线性方程组的迭代法数值计算方法9/26/20211直接法:经过有限次运算后可求得方程组精确解的方法(不计舍入误差!)迭代法：从解的某个近似值出发，通过构造一个无穷序列去逼近精确解的方法。（一般有限步内得不到精确解）直接法比较适用于中小型方程组。对高阶方程组，既使系数矩阵是稀疏的，但在运算中很难保持稀疏性，因而有存储量大，程序复杂等不足。迭代法则能保持矩阵的稀疏性，具有计算简单，编制程序容易的优点，并在许多情况下收敛较快。故能有效地解一些高阶方程组。9/26/20212迭代法的基本思想是构造一串收敛到解的序列，即建立

2、一种从已有近似解计算新的近似解的规则。由不同的计算规则得到不同的迭代法，本章介绍单步定常线性迭代法。6.1线性方程组的迭代法9/26/20213--------(2)对线性方程组(2),采用以下步骤:如果能将线性方程组变换为9/26/20214--------(3)这种方式就称为迭代法,以上过程称为迭代过程迭代法产生一个序列如果其极限存在,即则称迭代法收敛,否则称为发散依此类推9/26/20215设线性方程组的一般形式为6.2基本迭代法9/26/20216依此类推,线性方程组可化为-----(4)9/26/20217---

3、-----(5)对(4)作迭代过程则(5)式转化为矩阵形式--------(6)9/26/20218令A的下三角部分的负矩阵A的上三角部分的负矩阵9/26/20219故迭代过程(6)化为--------(7)称此方法为雅可比迭代法6.2.1雅可比迭代法9/26/202110例1.用雅可比迭代法求解方程组,误差不超过1e-4解:9/26/2021119/26/2021129/26/202113迭代次数为12次依此类推,得方程组满足精度的解为x(12)x4=3.02411.94780.9205d=0.1573x5=3.0003

4、1.98401.0010d=0.0914x6=2.99382.00001.0038d=0.0175x7=2.99902.00261.0031d=0.0059x8=3.00022.00060.9998d=0.0040x9=3.00031.99990.9997d=7.3612e-004x10=3.00001.99990.9999d=2.8918e-004x11=3.00002.00001.0000d=1.7669e-004x12=3.00002.00001.0000d=3.0647e-0059/26/202114分析雅可比迭代

5、法的迭代过程9/26/202115Jacobi迭代法的计算过程如下：9/26/202116§6.2.2高斯-塞德尔（Gauss-Seidel)迭代法9/26/2021179/26/202118--------(9)上式称为高斯-塞德尔迭代法用矩阵表示，即--------(8)9/26/202119分析高斯-塞德尔迭代法的迭代过程9/26/202120例2.用高斯-塞德尔迭代法求解例1.解:9/26/202121x1=2.50002.09091.2273d=3.4825x2=2.97732.02891.0041d=0.530

6、5x3=3.00981.99680.9959d=0.0465x4=2.99981.99971.0002d=0.0112x5=2.99982.00011.0001d=3.9735e-004x6=3.00002.00001.0000d=1.9555e-004x7=3.00002.00001.0000d=1.1576e-005通过迭代,至第7步得到满足精度的解x79/26/2021229/26/202123Gauss-Seidel迭代法的计算过程如下：9/26/2021246.2.3逐次超松弛迭代法9/26/2021259/26

7、/2021269/26/2021279/26/202128松弛法计算过程如下：9/26/202129本章作业P2101（2）、89/26/202130