一、平面点法式方程.ppt

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1、一、平面的点法式方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角第四节平面及其方程第一模块向量代数与空间解析几何现在来建立平面的方程.则点M在平面上的充要条件是设平面过点是平面的法向量.在平面上任取一点M(x,y,z)，nMM0一、平面的点法式方程该方程称为平面的点法式方程.所以有例1求过点(2,1,1)且垂直于向量i+2j+3k的平面方程.解显然，所求平面的法向量n=i+2j+3k，又因为平面过(2,1,1)，所以由公式可得该平面方程为即x+2y+3z－7=0.例2求过点M1(1,2,-1),M2(2,

2、3,1)且和平面x-y+z+1=0垂直的平面方程.解因为点M1，M2在所求平面上，所以向量在该平面上，且与已知平面的法向量n1=1,1,1垂直.故该平面的法向量M1M2n1为所求的平面的方程.因此由于该平面过点M1(1,2,－1)，即将方程①展开，得这是关于x，y，z的一次方程，所以平面可用x，y，z的一次方程来表示.反之，任意的x，y，z的一次方程(式中A，B，C不全为零)有无穷多组解.二、平面的一般方程②由此可知x，y，z的一次方程②都表示平面，用方程②减去上式，得设x0，y0，z0是其中的一组解，

3、则有这就是方程①，它表示过点(x0,y0,z0)，且以为法向量的平面，其中系数A，B，C表示法向量的坐标.方程②称为平面的一般方程.和M3(0,0,c)例3求过点M1(a,0,0)，M2(0,b,0)的平面方程(其中abc0).解设所求的平面方程为Ax+By+Cz+D=0(A、B、C不全为零)，因为点M1，M2，M3在平面上，所以解此方程组，可得M1axzyM2M3Ocb代入所设的方程，有消去D，得方程③称为平面的截距式方程，其中a，b，c分别称为在x轴，y轴，z轴上的截距.③所以因此它的法向量与a垂直，即

4、因为此平面过点M1，M2，例4设一平面过M1(1,0,2)和M2(1,2,2)，且与向量平行，试求此平面的方程.解设所求平面的方程为Ax+By+Cz+D=0.又由于所求平面与向量　平行，A+B+C=0解联立方程①、②、③，得A=C，B=2C，D=C，所以有消去C，即为所求的平面方程为①②③例5设一平面通过x轴和点M(4,3,1)，试求该平面的方程.解因为所求平面通过x轴，所以可设它的方程为By+Cz=0.由于点M在所求的平面上，因此有3BC=0，将C=3B代回方程④，并简化，即得所求平面方程为y

5、3z=0④设平面1、2的方程分别为两平面法向量的夹角，称为两平面的夹角.它们的夹角为.④则平面1、2垂直的充要条件是A1A2+B1B2+C1C2=0；平行的充要条件是三、两平面的夹角例6求两平面xy+2z+3=0与2x+y+z5=0的夹角.解由公式④得