一 平面的点法式方程.ppt

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1、一.平面的点法式方程如果一非零向量垂直于一平面，求过点且法向量为第七节平面及其方程的平面的方程。这向量叫做该平面的法向量。设是平面上任一点，则得--------平面的点法式方程。1由平面的点法式方程得所求平面的方程为即例1求过点（2，-3，0）且以n={1，-2，3}为法向量的平面的方程。解解由平面的点法式方程得所求平面的方程为即的方程。例2求过三点和的平面2二.平面的一般方程三元一次方程（A、B、C不全为零）（1）叫做平面的一般方程。（2）任何一个三元一次方程（1）都表示一个平面。这时法向量（1）任何平面的方程都可以化成三元一次方程（1）的形式。3特殊的三元

2、一次方程的图形的特点：（如图所示）。（3）当时，平面平行于平面方程化为（4）当时，表示平面。（1）当时，平面过原点。（2）当时，（如图所示）。平面平行于z轴（A、B、C不全为零）（1）A=0?orB=0?B=C=0?4又因平面过点所以有解例3求通过的平面的方程。轴和点因为平面通过轴，且所以设所求方程为故所求平面的方程为取则设所求平面方程为5例4.设一平面与x、y、z轴的交点依次为三点，求这平面的方程.（其中设所求平面的方程为故所求平面的方程为：这种方程叫做平面的截距式方程。解根据已知条件得取则6三.两平面的夹角两平面的法线向量的夹角就是设两平面和的法向量为，两

3、平面的夹角（通常指锐角）。则两平面夹角的余弦为7解因此，所求夹角例5求两平面和的夹角。两平面平行和垂直的充要条件：8设所求平面的一个法向量为：由平面的点法式方程得所求平面的方程为即求它的方程。例6一平面过两点且垂直于平面和解的法向量为平面9四.点到平面的距离而求点的距离到平面设是与同方向的单位向量，有在平面上任取一点平面法向量为则为在上的投影.10所以由此得点到平面的距离公式：11例7解利用上述公式可得12小结：点法式方程一般方程2.两平面的夹角4.点到平面的距离截距式方程3.两平面平行、垂直、和重合的条件作业:习题7~7作业纸P52-531.平面方程的三种常

4、见形式131．一般方程一．空间直线的方程第八节空间直线及其方程可以表示为：这种方程叫做空间直线的一般方程。空间直线可以看作是两个平面和的交线，因此直线的方程142．对称式方程（点向式方程）如果一个非零向量平行于一条直线，这个向量叫做直线的方向向量。求过点方向向量为的直线方程．设点是直线L上任一点，则由得:这个方程叫做直线的对称式方程或点向式方程;叫做直线的一组方向数;向量的方向余弦叫做该直线的方向余弦。15也可以写成（1）若中有一个为例如这时方程组应理解为方程应理解为说明：该直线是一条垂直于轴（或平行于面）的一条直线。该直线是一条平行于轴的一条直线，与面的交点

5、为如而时，（2）若中有两个为163、参数方程这个方程叫做直线的参数方程。如设那么17例1.用对称式方程及参数方程表示直线解又因两平面的法向量为所以是直线的一个方向向量。因此，所给直线的对称式方程为：参数方程为取则是直线上一点。即已知点？方向向量？18二.直线、平面间的关系1.两直线的夹角两直线平行和垂直的充要条件：192.直线与平面的夹角直线与平面平行和垂直的充要条件：20所以由点向式方程得解解例2.求直线的夹角。直线的方向向量为：直线的方向向量为：例3求过点且与平面垂直的直线的方程。平面的法向量就是所求直线的一个方向向量，21的直线的方程。解所以所求直线的方

6、程为：例4.求与两平面和的交线平行且过点是所求直线的一个方向向量。22所给直线的参数方程为：代入平面的方程得：解与平面例5.求直线的交点。所以交点的坐标为：23再求已知直线与这平面的交点。解例6.求过点且与直线垂直相交的直线的方程。过点且垂直于已知直线的平面的方程为：把直线的参数方程代入平面的方程，求得交点的坐标为以点为起点，点为终点的向量为：故所求直线的方程为24三.平面束方程设直线L由方程组所确定，其中系数与不成比例。建立三元一次方程：（3）方程（3）叫做直线L的平面束方程。都包含在方程（3）所表示的一族平面内。其中为任意常数。对于不同的值，方程（3）表示

7、过直线的不同的平面；反之，通过直线的任何平面（除平面（2）外）25的方程。设过直线的平面束方程为：即其中有一平面与已知平面垂直，由两平面垂直的充要条件，得即所以投影直线的方程为解上的投影直线例7.求直线在平面26作业:习题7~8作业纸P54学习指导1.直线方程的几种形式：一般式:2.两直线的夹角:3.平面束方程:对称式:参数方程:直线与平面的夹角:27