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1、§1含参量正常积分对多元函数其中的一个自变量进行积分形成的函数称为含参量积分,它可用来构造新的非初等函数.含参量积分包含正常积分和非正常积分两种形式.一、含参量正常积分的定义返回五、例题四、含参量正常积分的可积性三、含参量正常积分的可微性二、含参量正常积分的连续性一、含参量正常积分的定义设是定义在矩形区域上的定义在上以y为自变量的一元函数.倘若这时在上可积,则其积分值是定义在上的函数.一般地,设为定义在区域二元函数.当x取上的定值时,函数是上的二元函数,其中c(x),d(x)为定义在上的连续函数(图19-1),若对于上每一固定的x值,作为y
2、的函数在闭区间上可积,则其积分值是定义在上的函数.用积分形式(1)和(2)所定义的这函数与通称为定义在上的含参量x的(正常)积分,或简称为含参量积分.二、含参量正常积分的连续性定理19.1()若二元函数在矩形区域上连续,则函数在[a,b]上连续.证设对充分小的(若x为区间的端点,则仅考虑),于是由于在有界闭区域R上连续,从而一致连续,即对任意总存在对R内任意两点只要就有所以由(3),(4)可得,即I(x)在上连续.同理可证:若在矩形区域R上连续,则含参量的积分在[c,d]上连续.注1对于定理19.1的结论也可以写成如下的形式:若在矩形区域R
3、上连续,则对任何都有这个结论表明,定义在矩形区域上的连续函数,其极限运算与积分运算的顺序是可以交换的.为任意区间.注2由于连续性是局部性质,定理19.1中条件定理19.2()若二元函数在区域上连续,其中c(x),d(x)为上的连续函数,则函数在上连续.证对积分(6)用换元积分法,令当y在c(x)与d(x)之间取值时,t在[0,1]上取值,且所以从(6)式可得由于被积函数在矩形区域上连续,由定理19.1得积分(6)所确定的函数F(x)在[a,b]连续.三、含参量正常积分的可微性定理19.3()若函数与其偏导数都在矩形区域上连续,则函数在上可微
4、,且证对于内任意一点x,设(若x为区间的端点,则讨论单侧函数),则由微分学的拉格朗日中值定理及在有界闭域R上连续(从而一致连续),对只要就有这就证明了对一切有上连续,c(x),d(x)为定义在上定理19.4(的可微性)设在其值含于[p,q]内的可微函数,则函数在上可微,且证把F(x)看作复合函数:由复合函数求导法则及变动上限积分的性质,有注由于可微性也是局部性质,定理19.3中条件f与其中为任意区间.四、含参量正常积分的可积性由定理19.1与定理19.2推得:定理19.5()若在矩形区域上连续,则I(x)与J(x)分别在和上可积.这就是说:
5、在连续性假设下,同时存在两个求积顺序不同的积分:与为书写简便起见,今后将上述两个积分写作与前者表示先对y求积然后对x求积,后者则表示求积顺序相反.它们统称为累次积分.在连续性假设下,累次积分与求积顺序无关.定理19.6若在矩形区域上连续,则证记其中对于则有因为与都在R上连续,由定理19.3,故得因此对一切有当时,即得取就得到所要证明的(8)式.解记由于五、例题例1求都是a和x的连续函数,由定理19.2已知I(a)在处连续,所以例2讨论函数的连续性.解易见的定义域为令上连续,因此上连续,从而在上连续.由的任意性可得在上连续.例3计算积分解令上
6、满足定理19.3的条件,于是因为显然且函数在所以因而另一方面所以分小时,函数(9)的各阶导数存在，且例4设在的某个邻域内连续,验证当
7、x
8、充解由于(9)中被积函数以及其偏导数在原点的某个方邻域内连续,于是由定理19.4可得同理如此继续下去，求得k阶导数为特别当时有于是附带说明:当x=0时,及其各导数为例5求解因为又由于函数上满足定理19.6的条件,所以交换积分顺序得到例6设求解显然,本题不宜先求出,再算积分值.可试用交换积分次序的方法求出积分值.设则在上连续,由定理19.6,复习思考题1.参照定理19.1的证明,定理19.1中条件是否可减弱
9、为:(1)则(2)验证你的结论.2.若在上一致连续,能否推得在上一致连续?
