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1、现代控制理论钟秋海编著2021/7/29第二章状态空间分析方法第一节系统的状态空间表达式第二节状态空间表达式的解第三节线性连续系统状态空间表达式的离散化第四节线性系统的能控性和能观性第五节线性系统的结构分解第六节状态反馈与极点配置第七节状态观测器2021/7/29古典控制理论主要考察系统输入与输出的关系 理论基于传递函数来分析设计系统.传递函数是从外部观察系统时得出的系统数学模型的一种描述,不涉及系统内部的动态过程.称为系统的外部描述模型.2021/7/29现代控制理论系统是用一组状态变量构成的一阶微分方程组来描述的.这组状态变量
2、能够表达系统内部运动的全部动态过程.状态空间不但能反映系统外部的行为，而且能揭示系统内部的运动规律,称为内部描述模型.2021/7/29第一节系统的状态空间表达式一基本概念状态变量能够完全确定系统状态的最小一组变量状态某时刻状态变量的值就是该时刻系统的状态．状态空间以各状态变量为坐标轴所构成的n维空间状态方程状态变量的一阶导与状态变量状态空间和输入量关系的方程组表达式输出方程输出量与状态变量和系统输入关系的方程组2021/7/29一如何选取一个系统的状态变量?如何得到系统的状态空间表达式?看例题.例2-1如右图所示一个由质块、弹簧
3、、和阻尼器组成的机械系统,外作用力F0作用在质块m上，弹簧的刚度为k，阻尼器的阻尼系数为ρ其外壳有一速度v0,质块与地面可视为无摩擦．2021/7/29解：设质块的位移为x，根据牛顿定律可列出系统的动态方程为或改为选择 令输入 ，有即得状态方程为若y表示输出，则输出方程为：2021/7/29例2-2如图所示RLC电路,u(t)为输入电压,uc(t)为输出电压.由基尔霍夫定律有i(t),Uc(t)可作为一组状态变量,即令,可得:写成矩阵形式系统的输出为知道电流和电容电压的初始值以及t≧t0的输入电压，则电路的状态就
4、完全可以确定．2021/7/29本题也可以选择和作为两个状态变量.即令,则可得:写成矩阵形式输出方程则为2021/7/29由以上两个例题可知．状态空间描述可以充分揭示系统内部的运动规律，这是传递函数不具备的．状态变量必须是能够完全描述系统特性的一组最少变量，而且这些变量是互相独立的．状态变量的选择不是唯一的．物理系统中,一般选择系统里的储能元件中与储能有关的参量,如电感的I;电容的U.状态变量的个数就等于系统中独立储能元件的个数.请再看一例2021/7/29例2-3如图,该网络有两个节点,三个回路.可以列出一个节点方程,两个回路方
5、程.选取储能元件和储能有关的参量作为状态变量.即不难推出状态方程和输出方程.具体解答见课本12-13页.2021/7/29二由系统的微分方程建立状态空间表达式多数情况下能知道系统的高阶微分方程或传递函数.根据系统的高阶方程或传递函数来建立系统的状态空间表达式的这类问题称为系统的实现问题.要求：所求的状态空间表达式不但能反映原有的输入—输出关系,而且能将系统的内部结构确定下来.2021/7/29设单变量线性常定系统的运动方程为实现的条件就是m≦n．满足这一条件．就可以找到一组状态向量Ｘ，得到：，y=CX+DuA为系统矩阵或系数矩阵，
6、Ｂ为控制矩阵．Ｃ为量测矩阵或观测矩阵，Ｄ为连接矩阵．2021/7/29实现并不唯一,为了分析的简便,通常规定几种标准型(或规范型).若不出现零极点对消,则n阶系统必有n个独立状态变量.即有n个一阶微分方程以之等效.状态变量不同A不同,但特征根相同.没有零极点相消的实现称为最小实现,本书讨论的是最小实现.2021/7/29下面学习如何得到几种规范型.先讨论输入不含导数的情况.相变量规范型(能控能观标准型I)选取输出y和一直到y的n-1阶导的n个变量作为状态变量,这样的一组变量称为“相变量”.可得,A称为友矩阵.注意其特点.其中输出方
7、程为2021/7/29例２－４系统微分方程为求相变量规范型．解：取相变量为状态变量可得状态方程写成矩阵形式 系统输出方程为友矩阵2021/7/29能控能观标准型Ⅱ对微分方程进行拉氏变换并合并同类项得:经分析,若取右端s各次幂的系数为一组变量,则对任何给定的输入函数u(t),对上式进行拉氏反变换,即可唯一的确定输出函数.2021/7/29即令可得:输出方程能观能控标准型Ⅱ的系数矩阵,量测矩阵和控制矩阵与能控能观标准型Ⅰ的恰好互为转置.ABC2021/7/29例2-5求下列系统的能控能观标准型Ⅱ的实现.解:选取状态变量为可得本
8、例n=3,a1=7,a2=14a3=82021/7/29再讨论输入作用含有导数的情况.(2-1-14)为了避免方程中出现输入导数项.状态变量应选取输出和输入各阶导数的线性组合.(2-1-15)2021/7/29从(2-1-15)式可以得到(n-1)
