均值~方差组合优化中的效用函数原理分析.docx

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1、正文目录1.期望效用理论32.风险厌恶效用函数32.1.风险厌恶的定义32.2.风险厌恶的度量43.均值方差模型54.寻找效用函数64.1.二次函数并不合适64.2.假定收益率为正态分布74.3.指数函数是合理选择95.均值方差模型中的组合位置106.风险提示11图表目录图1凹函数4图2有效前沿与最大效用组合111.期望效用理论在投资决策中，人们面临的核心问题是收益具有不确定性，因此要在收益与风险之间做出权衡。如果直接计算投资收益的数学期望最大化，虽然可以对一些方案进行优劣比较，但也经常会出现与实际相矛

2、盾的情况。一个典型的例子是“圣彼得堡悖论(St.PetersburgParadox)”。“圣彼得堡悖论”是指一个投币游戏：如果第一次投币出现正面，可以得到2元；如果第一次投币出现反面，第二次出现正面，可以得到4元；如果前两次出现反面，第三次出现正面，可以得到8元；以此类推。该游戏所得收益的数学期望值为11?=1?2×2+4×4+⋯+2?×2=+∞但是在实际中，人们肯为这个期望回报为正无穷的游戏支付的费用极低，因此这就存在一个悖论，显然期望收益并不能准确衡量这个投资方案的价值。数学家DanielBer

3、noulli在1738年解决圣彼得堡悖论时，首次提出了期望效用的概念，将期望效用与期望收益进行了区分。他将各种可能下的效用使用概率加权平均，得到期望效用。Bernoulli指出人们在做投资决策时并不是直接基于财富的期望值，而是基于财富带来的效用的期望值，并且财富增加带来的边际效用是递减的。效用函数将财富值与效用值联系了起来，Bernoulli选择对数函数作为效用函数，即?(?)=ln(?)，其中?为财富。不考虑初始财富，那么这个投币游戏的期望效用为+∞1?(?)=∑2?∙??(2?)=1.39?=1即

4、投资者愿意为此游戏支付1.39元。这一计算结果与参与游戏者实际愿意支付的费用较为吻合。期望效用理论假定投资者会选择使他的期望效用最大化的决策，是解决不确定性投资决策问题的重要判断依据。1.风险厌恶效用函数1.1.风险厌恶的定义在一次投币游戏中，如果经济个体希望确定性地得到游戏的期望回报，而不想通过参与这次投币游戏获得回报，即确定性收益能给他带来更高的效用，那么我们称这个经济个体是风险厌恶的。下面使用数学公式来定义。假定经济个体的财富水平为?,?是一次投币游戏的收益，?(?)=0，???(?)>0。如果有

5、?(?)>?[?(?+?)]那么称他为风险厌恶的。相反，如果有则称他是风险偏好的。?(?)0(1)?′′(?)<0(2)(1)说明财富的增加带来效用的增加，即边际效用>0，(2)说明财富增加带来的边际效用是递减的。1.1.风险厌恶的度量为了衡量经济个体的风

6、险厌恶程度，我们可以计算他肯为摆脱期望收益为0的一次游戏所支付的费用。令?表示参与游戏获得的收益，?(?)=0。经济个体愿意支付一些费用来摆脱这种不确定性，支付费用?后，他获得的效用与参与游戏是相等的。因此有?[?(?+?)]=?(?−?)(3)对式(3)左边做泰勒二阶展开，得到?[?(?+?)]≈?[?(?)+??′(?)+?22?′′(?)1一阶导数>0是对效用函数的要求，而不是对凹函数的要求?2=?(?)+??′′(?)，2?其中?2是?的方差。对式(3)右边做泰勒一阶展开，得到?(?−?)≈

7、?(?)−??′(?)因此?(?)+即2???′′(?)=?(?)−??′(?)2?=−?2?′′(?)?=2???(?)2?′(?)2其中?′′(?)?(?)=−?′(?)(4)?(?)是效用函数?(?)的Arrow-Pratt测度，也将?(?)称为风险厌恶系数。可以看到经济个体愿意为摆脱不确定性支付的费用?与?(?)正相关，因此?(?)可用来衡量风险厌恶的程度。?(?)越大，风险厌恶程度越高，经济个体肯为摆脱不确定性支付的费用越高。经济个体的风险厌恶程度还与他的财富水平有关，一般认为正常情况下

8、，随着财富值的增加，经济个体的风险厌恶程度是下降的，即?′(?)<0。1.均值方差模型Markowitz均值-方差模型基于对投资者行为的以下假设：1.投资者做投资决策的依据是持有期内收益率的概率分布；2.投资者的目标是使效用函数最大化，随着财富增加，边际效用递减；3.投资者使用预期收益率的方差来衡量组合风险；4.投资者根据预期收益率与风险来选择组合，并且他的效用函数仅和预期收益率及风险有关；5.投资者是风险厌恶的，对于给定的预期收益率水平，