高中数学数列专题 递推数列 典型题型.pdf

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1、高考递推数列题型分类归纳解析各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。类型1aaf(n)n1n解法：把原递推公式转化为aaf(n)，利用累加法(逐差相加法)求解。n1n11例:已知数列a满足a，aa，求a。n12n1nn2nn1111解：由条件知：aan1nn2nn(n1)nn1分别令n1,2,3,

2、,(n1)，代入上式得(n1)个等式累加之，即(aa)(aa)(aa)(aa)213243nn11111111(1)()()()22334n1n1所以aa1n1n11131a，a112n2n2n变式:（2004，全国I，个理22．本小题满分14分）已知数列{a}中a1，且a=a+(－1)K,a=a+3k,其中k=1,2,3,…….n12k2k－12k+12k（I）求a,a；35（II）求{a}的通项公式.n解：

3、aa(1)k，aa3k2k2k12k12kaa3ka(1)k3k，即aa3k(1)k2k12k2k12k12k1aa3(1)，31aa32(1)253…………aa3k(1)k2k12k1将以上k个式子相加，得31aa(3323k)[(1)(1)2(1)k](3k1)[(1)k1]2k1122将a1代入，得111a3k1(1)k1，2k12211aa(1)k

4、3k(1)k1。2k2k1221n11n132(1)21(n为奇数)22经检验a1也适合，a1n1n1n32(1)21(n为偶数)22类型2af(n)an1na解法：把原递推公式转化为n1f(n)，利用累乘法(逐商相乘法)求解。an2n例:已知数列a满足a，aa，求a。n13n1n1nnan解：由条件知n1，分别令n1,2,3,,(n1)，代入上式得(n1)个等式累乘之，即an1naaaa123n1a12•

5、3•4••nnaaaa234nan123n1122又a，a13n3n3n1例:已知a3，aa(n1)，求a。1n13n2nn3(n1)13(n2)132131解：a••••an3(n1)23(n2)23223213n43n7526L33n13n4853n1。变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{a}，满足a=1，aa2a3a(n1)a(n≥2)，则{a}的通n1

6、n123n1n1n1项an___n2解：由已知，得aa2a3a(n1)ana，用此式减去已知式，得n1123n1n当n2时，aana，即a(n1)a，又aa1，n1nnn1n21aaaan!a1,21,33,44,,nn，将以上n个式子相乘，得a(n2)1aaaan2123n1类型3apaq（其中p，q均为常数，(pq(p1)0)）。n1nq解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：atp(at)，其中t，再

7、利用换元法转化为等比数列求n1n1p解。例:已知数列a中，a1，a2a3，求a.n1n1nn解：设递推公式a2a3可以转化为at2(at)即a2att3.故递推公式为n1nn1nn1nba3a32(a3),令ba3，则ba34,且n1n12.所以b是以b4为首项，2为公n1nnn11ba3n1nn比的等比数列，则b42n12n1,所以a2n13.nn变式:（2006，重庆,文,14）在数列a中，若a1,a

8、2a3(n1)，则该数列的通项a_______________n1n1nn（key:a2n13）n变式:（2006.福建.理22.本小题满分14分）已知数列a满足a1,a2a1(nN*).n1n1na（I）求数列的通项公式；n（II）若数列{b}滿足4b114b21L4bn1(a1)bn(nN*),证明：数列{b}是等差数列；nnnn1aaan（Ⅲ）证明：12...n(nN*).2