高等数学第四章 第四节 不定积分 课件.ppt

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1、第二节定积分在几何学上的应用平面图形的面积体积平面曲线的弧长1/31一、平面图形的面积1.直角坐标情形设曲线与直线及x轴所围曲则边梯形面积为A,仿此可得图1的面积：Ayx=f(y)图2的面积：（图1）（图2）——上曲线减下曲线对x积分。y+dyx+dx一般解题步骤：（1）画草图，定结构；（2）解必要的交点，定积分限；（3）选择适当公式，求出面积（定积分）。注意：答案永远为正。例1.计算两条抛物线在第一象限所围图形的面积.解:由得交点（图3）的面积：xy=f(x)（图3）（图4）（图4）的面积：Ax=f(y)（图5）x=g(y)——右曲线减左

2、曲线对y积分。（图5）的面积：右图所示图形面积为此时积分要分区间计算。解两曲线的交点选为积分变量于是所求面积解选为积分变量6/31另解先求两曲线的交点。5/31设曲边梯形的曲边参数方程为其面积的计算公式可由直角坐标下曲边梯形的面积公式经过定积分的换元法得到：2.参数方程情形8/31一般地,当曲边梯形的曲边由参数方程给出时,按顺时针方向规定起点和终点的参数值则曲边梯形面积椭圆的面积9/31例4.求由摆线的一拱与x轴所围平面图形的面积.解:曲边扇形面积元素曲边扇形的面积公式3.极坐标方程的情形10/31对应从0变例1.计算阿基米德螺线解:到2

3、的一段与极轴所围图形面积.解由对称性知，总面积=第一象限部分面积的4倍。11/31解利用对称性知，所求面积为上半部的两倍，12/31*例4.计算心形线与圆所围图形的公共面积.解:利用对称性,所求面积解利用对称性知，所求面积为上半部的两倍，A=2A1.而A1=S1+S2,旋转体——由一个平面图形绕同平面内一条直线旋转一周而成的立体．这条直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台二、体积1.旋转体的体积13/31xyo旋转体的体积公式14/3115/31解16/31例2.计算由椭圆所围图形绕x轴旋转而转而成的椭球体的体积.解:方法1利用直角坐标方程则(利用

4、对称性)方法2利用椭圆参数方程则特别当b=a时,就得半径为a的球体的体积注意：解18/31动画另解19/31解20/3121/31P286.19xyo证：称之为“柱壳法”利用这个公式，可知例4中奇函数偶函数例5解利用“柱壳法”2、已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为上连续,特别,当考虑连续曲线段轴旋转一周围成的立体体积时,有当考虑连续曲线段绕y轴旋转一周围成的立体体积时,有解取坐标系如图所示。垂直于x轴的截面的面积为所求立体体积23/31另解以垂直于y轴的平面切

5、割立体，得截面面积为立体体积24/31三、平面曲线的弧长弧长元素（弧微分）基本公式弧长25/31弧长弧长26/31例1.求连续曲线段解:的弧长.解星形线在第一象限部分的方程为根据对称性第一象限部分的弧长27/31另解星形线的参数方程为根据对称性第一象限部分的弧长28/31解29/31例4.计算摆线一拱的弧长.解:1、直角坐标方程给出的平面图形的面积一般以直角坐标为积分变量；四、小结2、参数方程给出的平面图形的面积可由直角坐标面积计算公式经积分变量替换得到；3、极坐标方程给出的平面图形的面积一般以由极坐标为积分变量；4、曲边梯形的面积的计算一

6、般以由直角坐标为积分变量；曲边扇形的面积的计算一般以由极坐标为积分变量。30/315、旋转体的体积绕轴旋转一周；绕轴旋转一周；（绕非坐标轴直线旋转一周）.6、平行截面面积为已知的立体的体积。参数方程；极坐标方程。8、求弧长的公式直角坐标方程；7、平面曲线弧长元素（弧微分）的基本公式；31/311.平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程2.平面曲线的弧长曲线方程参数方程方程极坐标方程弧微分:直角坐标方程上下限按顺时针方向确定直角坐标方程求弧长时积分上下限必须上大下小注意：3.已知平行截面面积函数A(x)的立体体积旋转体的体积绕x轴:绕y轴:

7、(柱壳法)作业习题6-1思考与练习1.用定积分表示图中阴影部分的面积A及边界长s.提示:交点为弧线段部分直线段部分以x为积分变量,则要分两段积分,故以y为积分变量.2.试用定积分求圆绕x轴上半圆为下求体积:提示:方法1利用对称性旋转而成的环体体积V.方法2用柱壳法上半圆为下3解