西南交大现代信号处理作业.doc

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1、现代信号处理作业1.(5″)证明下面定理：任何一个无偏估计子方差的下界叫作Cramer-Rao下界定理：令为一样本向量，是的条件密度，若是的一个无偏估计子，且存在，则式中。其中是的某个不包含的正函数。2.(10″)Wiener滤波是信号处理中最常用和基础的波形估计工具之一，对其在自己研究领域的应用情况进行一个简单综述。3.(5″)二阶滑动平均过程由定义，式中表示正态分布，其均值为零、方差为。求x(n)的功率谱。4.(20″)信号的函数表达式为：，其中，A(t)为一随时间变化的随机过程，dn(t)为经过390

2、-410Hz带通滤波器后的高斯白噪声，n(t)为高斯白噪声，采样频率为1kHz，采样时间为2.048s。(1)利用现代信号处理知识进行信号的谱估计；(2)利用现代信号处理知识进行信号的频率提取；(3)分别利用Wiener滤波和Kalman滤波进行去噪；(4)利用Wigner-Ville分布分析信号的时频特征。5.(10″)附件中表sheet1为某地2008年4月28日凌晨12点至2008年5月4日凌晨12点的电力系统负荷数据，采样时间间隔为1小时，利用ARMA方法预测该地5月5日的电力系统负荷，并给出预测误

3、差（5月5日的实际负荷数据如表sheet2）。1、定理：令为一样本向量，是的条件密度，若参数估计是真实参数的一个无偏估计子，且、存在，则的均方误差所能达到的下界（称为Cramer-Rao下界）等于Fisher信息的导数，即：（1-1）不等式中等号成立的充分必要条件是：（1-2）其中是的某个正函数，与样本无关。证明：由假设条件知，或，因此有（1-3）对上式两边求关于的偏导，得即有（1-4）另一方面，由复合函数的求导法，又有（1-5）由于是的条件概率密度，故（1-6）将式（1-5）和式（1-6）带入式（1-4）

4、，得或改写作（1-7）由Cauchy-Schwartz不等式知，对于任意两个复函数和，恒有不定式：成立，并且当且仅当，等号成立，将Cauchy-Schwartz不等式应用于式（1-7），则有或等价为（1-8）由Cauchy-Schwartz不等式等号成立的条件知：当且仅当，即式（1-2）成立时，不等式（1-8）才取等号。注意到，故有（1-9）另由公式知（1-10）将式（1-9）和式（1-10）代入式（1-8），直接得到不等式（1-1）。根据前面的分析，不等式等号成立的充分必要条件是式（1-2）成立3、解：对

5、取延迟形式：于是有：展开上式得到：即：对上式进行傅里叶变换，则有：从而得到：即4、music算法原理：music(MultipleSignalClassification)算法是针对多元天线阵测向问题提出的。假定M元的均匀线阵，阵元间距为d，信号的工作波长为λ。空间信号源共有D个，各信号不相关，各阵元的噪声互不相关，噪声和信号也不相关。因此，第m个阵元的输出为（4-1）式中，为第ｋ个信号源的方向。将式（4-1）写成矩阵形式：（4-2）式中：、。求各阵元输出的相关矩阵，有：（4-3）（4-4）式中：———噪声

6、的方差。对式（4-3）的相关矩阵R作特征分解，其各特征值及其相对应的特征向量分别为：λ1≥λ2≥…≥λＤ≥λＤ+1≥…≥λＭ（4-5）ｖ1ｖ2…ｖＤｖＤ+1…ｖＭ（4-6）据式式（4-3），可得以下结论：（1）R的最小特征值等于，重数为(MD)，即λＤ+1=…=λＭ=。据此，空间信号源的个数D可由下式得出：D=M-（R最小特征值的重数）。最小重数为1，因此，M阵元可测向的信号源数目的最大值为。（2）各特征向量相互正交。这些向量为矩阵Ｒ列空间的基，由于最小特征值为噪声的贡献，因此与最小特征值对应的那些特征向量

7、所成的子空间也是噪声的贡献，称之噪声子空间，记为。这样Ｒ的列空间被划分成两个子空间,即信号子空间和噪声子空间：（4-7）（4-8）由于各特征向量相互正交，故有：。在信号源所在方向上，诸方向向量，均处于信号子空间中，故。构造矩阵：（4-9）显然有music算法就是根据式（4-9）来求空间谱，有（4-10）谱峰所对应θ值就是信号源方向的估值。维纳滤波算法原理：维纳(Wiener)是用来解决从噪声中提取信号的一种过滤（或滤波）方法。这种线性滤波问题，可以看做是一种估计问题或一种线性估计问题。一个线性系统，如果它的

8、单位样本响应为，当输入一个随机信号，且：（4-1）其中：表示信号，表示噪声，则输出为：（4-2）我们希望通过线性系统后得到的尽量接近于，因此称为的估计值，用表示，即：（4-3）则维纳滤波器的输入—输出关系可用下面图1表示。图4-1维纳滤波器的输入—输出关系实际上，式（4-2）所示的卷积形式可以理解为从当前和过去的观察值，来估计信号的当前值。因此，用进行过滤问题实际上是一种统计估计问题。一般地，从当前的和过去的观察