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1、数列的单调性精品文档数列的单调性一【问题背景】数列是函数概念的继续和延伸，它是定义在自然数集或它的子集上的函数，其图象是坐标系内一群孤立的点．单调性是研究函数的重要抓手，同样的，通过研究数列的单调性也是我们解决数列问题的重要工具，其作用主要体现在求数列最值、恒成立等问题上．二、【数列的单调性】数列是一种离散型的函数，它的单调性定义与函数的单调性定义既有联系又有区别．在数列中，若对任意的，都有，则数列为单调递增数列；若对任意的，都有，则数列为单调递减数列．特别的，若等差数列为递增数列，则公差；若等差数列为递减数列，则公差．若正项等比数列为递增数列，则公比；若正项等比数列为递减数列，则公比．三
2、、【范例】例1数列的通项公式=，若数列为递增数列，则的取值范围是．解：数列为递增数列恒成立，即化简得恒成立，即，因为为单调递减数列，当时，取得最大值-3所以．收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档变式通项公式为的数列，若满足，且对恒成立，则实数的取值范围是．解：，当时，恒成立，所以当时，恒有，，．又当时，恒成立，，．所以．例2设等比数列的前项和为，且，数列的通项公式为．设，若数列是单调递减数列，求实数的取值范围．解：，所以，要使数列是单调递减数列，则对恒成立，即恒成立，所以，令，则，所以，因此当或2时，所以．例3已知，，都是各项不为零的数列，且满足（为常数，），（），其中是数列的前收
3、集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档项和，是公差为的等差数列．若，求证：对任意的，数列单调递减．解：因为，当时，，两式相减得，即，，即，因为，所以，即，所以，即，所以，当时，，两式相减得，即，故从第二项起数列是等比数列，所以当时，，，另外由已知条件得，又，，，所以，因而，令，则，因为，所以，所以对任意的，数列单调递减．收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档例4已知数列的通项公式，前项和为，是否存在正整数，使得恰好为数列中的一项？若存在，求出所有满足条件的值，若不存在，说明理由．解：对于，有，，假设存在正整数，使得恰好为数列中的一项，又由（1）知数列中的每一项都为正整数，故可设，
4、则,变形得，∵，∴，又，故可能取，当时，，∴不成立，当时，，即，若，，令，，则，因此，故只有，此时，；当时，，∴，．收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档综上，存在正整数，使得恰好为数列中的第三项；存在正整数，使得恰好为数列中的第二项．四、【练习】1．已知数列的通项公式为，若对于一切的自然数，不等式恒成立,则实数的取值范围为________．解：令，∴∴∴，恒成立；∴数列对，上单调递增．∴；∴由题意可知∴又；∴；∴．2．已知数列的通项公式为：，设数列满足,且中不存在这样的项,使得“与”同时成立（其中,）,试求实数的取值范围．解：当时,,所以①若,即,则,所以当时,是递增数列,故由题意
5、得,即,解得；收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档②若,即,则当时,是递增数列,,故由题意得,即,解得③若,即,则当时,是递减数列,当时,是递增数列,则由题意,得,即,解得综上所述取值范围是或3．数列满足设，，，求使的所有的值，并说明理由=解：当时，，∴是以为首项，为公差的等差数列，则，当时，，∴是以为首项，为公比的等比数列，则，∴的通项公式为．所以，，∴，于是．下面证明：当时，．收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档事实上，当时，，即，又，∴当时，．故满足的的值为．收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
