数列的单调性.doc

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1、数列的单调性(1)一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即an＋1>an，那么这个数列叫作递增数列．(2)一个数列，如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即an＋1

2、{5,6，…}上也是递减的．利用数列的图像判断数列的增减性数列的图像可直观地反映数列各项的变化趋势，从而可判断数列的增减性．[典例]　已知数列{an}的通项公式an＝，试判断该数列的增减性．[解]　an＋1－an＝－＝.因为n∈N＋，所以1－n2－n<0，所以an＋1－an<0，即an＋10)．　　　　　　题点一：求数列的最大(小)项1．已知数列{

3、an}的通项公式an＝(n＋1)n(n∈N＋)，试问数列{an}有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明理由．解：法一：假设数列{an}中存在最大项．∵an＋1－an＝(n＋2)n＋1－(n＋1)n＝n·，当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1a11>a12…，所以数列中有最大项，最大项为第9、10项，且a9＝a10＝.法二：假设数列{an}中有最大项

4、，并设第k项为最大项，则对任意的k∈N＋且k≥2都成立．即∴解得9≤k≤10.又k∈N＋，∴数列{an}中存在最大项是第9项和第10项，且a9＝a10＝.题点二：由数列的单调性求参数问题2．已设数列{an}的通项公式为：an＝n2＋kn(n∈N＋)，若数列{an}是单调递增数列，求实数k的取值范围.解：法一：∵数列{an}是单调递增数列，∴an＋1－an>0(n∈N＋)恒成立．又∵an＝n2＋kn(n∈N＋)，∴(n＋1)2＋k(n＋1)－(n2＋kn)>0恒成立．即2n＋1＋k>0.∴k>－(2n＋1)(n∈N＋

5、)恒成立．而n∈N＋时，－(2n＋1)的最大值为－3(n＝1时)，∴k>－3.即k的取值范围为(－3，＋∞)．法二：结合二次函数y＝x2＋kx的图像，要使{an}是递增数列，只要a1－3，所以k的取值范围为(－3，＋∞)．题点三：数列与函数的综合应用3．已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n.(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明数列{an}是递减数列．解：(1)∵f(x)＝2x－2－x，f(log2an)＝－2n，∴2log2an－2－

6、log2an＝－2n，∴an－＝－2n，∴a＋2nan－1＝0，解得an＝－n±.∵an>0，∴an＝－n，n∈N＋.(2)证明：＝＝<1.∵an>0，∴an＋1

7、，an有最小值？并求出最小值；(2)数列{an}有没有最大项？若有，求出最大项，若没有说明理由．解：(1)因为an＝n2－21n＋20＝2－，可知对称轴方程为n＝＝10.5.又因n∈N＋，故n＝10或n＝11时，an有最小值，其最小值为102－21×10＋20＝－90.(2)由(1)知，对于数列{an}有：a1>a2>…>a10＝a11