数列的单调性

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1、数列的单调性(1)一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即an＋1>an，那么这个数列叫作递增数列．(2)一个数列，如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即an＋1

2、像判断数列的增减性数列的图像可直观地反映数列各项的变化趋势，从而可判断数列的增减性．[典例]　已知数列{an}的通项公式an＝，试判断该数列的增减性．[解]　an＋1－an＝－＝.因为n∈N＋，所以1－n2－n<0，所以an＋1－an<0，即an＋10)．　　　　　　题点一：求数列的最大(小)项1．已知数列{an}的通项公式an＝(n＋1)n(n∈N＋)，试问数列{an}有没有最大项？

3、若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明理由．解：法一：假设数列{an}中存在最大项．∵an＋1－an＝(n＋2)n＋1－(n＋1)n＝n·，当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1a11>a12…，所以数列中有最大项，最大项为第9、10项，且a9＝a10＝.法二：假设数列{an}中有最大项，并设第k项为最大项，则对任意的k∈N＋且k≥2都成立．即∴解得9≤k≤10.又k∈N＋，∴数列{an}中存在最大项是

4、第9项和第10项，且a9＝a10＝.4题点二：由数列的单调性求参数问题2．已设数列{an}的通项公式为：an＝n2＋kn(n∈N＋)，若数列{an}是单调递增数列，求实数k的取值范围.解：法一：∵数列{an}是单调递增数列，∴an＋1－an>0(n∈N＋)恒成立．又∵an＝n2＋kn(n∈N＋)，∴(n＋1)2＋k(n＋1)－(n2＋kn)>0恒成立．即2n＋1＋k>0.∴k>－(2n＋1)(n∈N＋)恒成立．而n∈N＋时，－(2n＋1)的最大值为－3(n＝1时)，∴k>－3.即k的取值范围为(－3，＋∞)．法二：结合二次函数y＝x2＋kx的图像，要使{

5、an}是递增数列，只要a1－3，所以k的取值范围为(－3，＋∞)．题点三：数列与函数的综合应用3．已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n.(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明数列{an}是递减数列．解：(1)∵f(x)＝2x－2－x，f(log2an)＝－2n，∴2log2an－2－log2an＝－2n，∴an－＝－2n，∴a＋2nan－1＝0，解得an＝－n±.∵an>0，∴an＝－n，n∈N＋.4(2)证明：＝＝<1.∵an>0，∴an＋1

6、．函数思想方法在数列问题中的应用(1)数列的单调性是通过比较{an}中任意相邻两项an与an＋1的大小来判定的．某些数列的最大项或最小项问题，可以通过研究数列的单调性加以解决．(2)数列是特殊函数，一定要注意其定义域是N＋(或它的有限子集)．　　　　10．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－21n＋20.(1)n为何值时，an有最小值？并求出最小值；(2)数列{an}有没有最大项？若有，求出最大项，若没有说明理由．解：(1)因为an＝n2－21n＋20＝2－，可知对称轴方程为n＝＝10.5.又因n∈N＋，故n＝10或n＝11时，an有最小值，其最小值

7、为102－21×10＋20＝－90.(2)由(1)知，对于数列{an}有：a1>a2>…>a10＝a11