2、法.3.反证法先假设要证明的命题⑥不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的⑦推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)⑧矛盾的结论,以说明假设⑨不正确,从而证明原命题成立,我们把它称为反证法.4.放缩法证明不等式时,通过把所证不等式的一边适当地⑩放大或缩小,以利于化简,并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显,从而得出原不等式成立,这种方法称为放缩法.5.平均值不等式如果a1、a2、…、an为n个正数,则≥,当且仅当a1=a2=…=an时,等号成立.附:不等式证明
3、的常用方法有:(1)比较法;(2)综合法;(3)分析法;(4)反证法;(5)放缩法;(6)换元法;(7)构造法.1.已知a,b∈R+,a+b=2,则+的最小值为( )A.1 B.2 C.4 D.8答案B ∵a,b∈R+,且a+b=2,∴(a+b)=2++≥2+2=4,∴+≥=2,即+的最小值为2(当且仅当a=b=1时,“=”成立).故选B.2.若a,b,m∈R+,且a>b,则下列不等式一定成立的是( )A.≥B.>C.≤D.<答案B ∵a,b,m∈R+,且a>b,∴-=>0,即>,故选B.3.
4、若02,a2+b2>2ab,故只需比较a+b与a2+b2的大小即可.(a2+b2)-(a+b)=a(a-1)+b(b-1),∵00,b>0,若是3a与3b的等比中项,求证:+≥4.证明由是3a与3b的等比中项得3a·3b=3,即a+b=1.要证原不等式成立,只需证+≥4,即证+≥2.因为a>0,b>0
5、,所以+≥2=2当且仅当=,即a=b=时,取等号,所以+≥4.考点一 比较法证明不等式典例1设a,b是非负实数,求证:a3+b3≥(a2+b2).证明∵a,b是非负实数,∴a3+b3-(a2+b2)=a2(-)+b2(-)=(-)[()5-()5].当a≥b时,≥,从而()5≥()5,得(-)[()5-()5]≥0;当a0.所以a3+b3≥(a2+b2).考点突破方法技巧作差比较法证明不等式的步骤:(1)作差;(2)变形;(3)判断差的符号;(4)下结论.其中“
6、变形”是关键,通常将差变形成因式连乘的形式或平方和的形式,再结合不等式的性质判断出差的正负.注:作商比较法也有类似的步骤,但注意其比较的是两个正数的大小,且第(3)步要判断商与1的大小.1-1已知a,b∈(0,+∞),证明:aabb≥(ab.证明a,b∈(0,+∞),==,当a=b时,=1.当a>b时,>1,>0,则>1.当b>a时,0<<1,<0,则>1.综上可知,aabb≥(ab成立.考点二 综合法与分析法证明不等式典例2(2015课标Ⅱ,24,10分)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:(1)若ab>
7、cd,则+>+;(2)+>+是
8、a-b
9、<
10、c-d
11、的充要条件.证明(1)因为(+)2=a+b+2,(+)2=c+d+2,且a+b=c+d,ab>cd,所以(+)2>(+)2.因此+>+.(2)(i)若
12、a-b
13、<
14、c-d
15、,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.由(1)得+>+.(ii)若+>+,则(+)2>(+)2,即a+b+2>c+d+2.因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-
16、d)2.因此
17、a-b
18、<
19、c-d
20、.综上,+>+是
21、a-b
22、<
23、c-d
24、的充要条件.1.利用综合法证明不等式时,应注意对已证不等式的使用,常用的不等式有:(1)a2≥0;(2)
25、a
26、≥0;(3)a2+b2≥2ab,它的变形形式有(a+b)2≥4ab,≥等;(4)≥(a≥0,b≥0),它的变形形式有a+≥2(a>0),
