高中数学选修5~4不等式选讲

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1、选修4-5:不等式选讲精选试题(本小题满分7分)一、绝对值不等式:解绝对值不等式、绝对值函数的图像、求绝对值函数的最值、恒成立问题1.设不等式的解集为M.(I)求集合M;(II)若a,b∈M,试比较ab+1与a+b的大小.解:(I)由所以(II)由(I)和,所以故2.设函数,其中.(Ⅰ)当时,求不等式的解集;(Ⅱ)若不等式的解集为,求a的值.解:(Ⅰ)当时,可化为.由此可得或.故不等式的解集为或.(Ⅱ)由得此不等式化为不等式组或即或因为,所以不等式组的解集为由题设可得=,故.3.设函数.(Ⅰ)画出函数的图像;(Ⅱ)若不等式≤的解集非空,求a的取值范围.解:(Ⅰ)由于则函数的图像如图所示.(Ⅱ

2、)由函数与函数的图像可知,当且仅当或时,函数与函数的图像有交点.故不等式的解集非空时,的取值范围为.4.解不等式.解:或或.5.解不等式∣2x-1∣<∣x∣+1.解:当x<0时,原不等式可化为;又不存在;当时,原不等式可化为又当综上,原不等式的解集为6.如图,O为数轴的原点,A,B,M为数轴上三点,C为线段OM上的动点,设x表示C与原点的距离,y表示C到A距离4倍与C道B距离的6倍的和.(1)将y表示成x的函数;(2)要使y的值不超过70,x应该在什么范围内取值?w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解:(Ⅰ)(Ⅱ)依题意,x满足{解不等式组,其解集为【9,23】;所以w.w.w.k.s.5

3、.u.c.o.m7.求

4、2x-3

5、+

6、3x+2

7、的最小值.解:

8、2x-3

9、+

10、3x+2

11、=

12、2x-3

13、+

14、2x+

15、+

16、x+

17、≥

18、(2x-3)-(2x+)

19、+

20、x+

21、≥4+0=4。当x=-时取等号,∴

22、2x-3

23、+

24、3x+2

25、的最小值为4.8.已知函数=

26、x-2

27、x-5

28、.(I)证明:≤≤3;(II)求不等式≥x2x+15的解集.解:(I)当所以(II)由(I)可知,当的解集为空集;当;当.综上,不等式9.设函数.(Ⅰ)若,解不等式;(Ⅱ)如果关于的不等式有解,求的取值范围.解:(Ⅰ)当时,由,得,①当时,不等式化为即所以,原不等式的解为②当时,不等式化为即所以,原不等式无解.③当时,不等式化

29、为即所以,原不等式的解为综上,原不等式的解为(Ⅱ)因为关于的不等式有解,所以,因为表示数轴上的点到与两点的距离之和,所以,解得,所以,的取值范围为10.已知函数.(Ⅰ)若不等式的解集为,求实数的值;(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若对一切实数恒成立,求实数m的取值范围.解法一:(Ⅰ)由得,解得.又已知不等式的解集为,所以解得.(Ⅱ)当时,.设,解法二:(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)当时,.设.由(当且仅当时等号成立)得,的最小值为5.从而,若即对一切实数恒成立,则的取值范围为.二、利用柯西不等式、均值不等式求最值、证明不等式、求参数的取值范围1、不等式证明11.设是非负实数,求证:.证明:由是非负实数,作差

30、得当时,,从而,得;当时,,从而,得;所以。2、均值不等式12.已知x,y,z均为正数.求证:证明:因为x,y,z无为正数.所以,同理可得,当且仅当x=y=z时,以上三式等号都成立.将上述三个不等式两边分别相加,并除以2,得.………………6分13.已知均为正数,证明:,并确定为何值时,等号成立.3、柯西不等式14.已知,求的最小值.解:∵,∴,∴,当且仅当:,即,∴,∴,时,的最小值为。15.若求的最小值,并求此时的值.解、用柯西不等式,因故所以因此当且仅当时,16.已知,且,求的最小值.解法一:注意到,且为定值,利用柯西不等式得到,从而,当且仅当时取“=”号,所以的最小值为3.解法二:可考

31、虑利用基本不等式“”进行求解,由=,从而求得,当且仅当时取“=”号,所以的最小值为3.17.已知a2+b2+c2=1(a,b,c∈),求a+b+c的最大值.(法一)解:∵,,,,∴.当且仅当时,取得最大值.(法二)解:∵,,∴∵,∴,当且仅当时等号成立,∴的最大值为.18.已知实数满足,求的最大值和最小值.解:由柯西不等式得即由条件可得,,解得当且仅当时等号成立,代入时,,时,.19.已知函数的最小值为,实数满足.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求证:.解:(Ⅰ)法一:,可得函数的最小值为2.故.法二:,当且仅当时,等号成立,故.(Ⅱ)即:,故.20.已知a,b,c为实数,且(I)求证:(II)求实数m

32、的取值范围.解:①由柯西不等式得即当且仅当取得等号.②由已知得又21.将12cm长的细铁线截成三条长度分别为、、的线段,(I)求以、、为长、宽、高的长方体的体积的最大值;(II)若这三条线段分别围成三个正三角形,求这三个正三角形面积和的最小值.解:(I),;当且仅当时,等号成立.(II)设正三角形的边长为,则∴这三个正三角形面积和为:当且仅当时,等号成立.您好,欢迎您阅读我的文章,本WORD文档可编辑修改,也

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