高中数学选修5-4不等式选讲

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1、选修4-5：不等式选讲精选试题（本小题满分7分）一、绝对值不等式：解绝对值不等式、绝对值函数的图像、求绝对值函数的最值、恒成立问题1．设不等式的解集为M．（I）求集合M；（II）若a，b∈M，试比较ab+1与a+b的大小．解：（I）由所以（II）由（I）和，所以故2．设函数,其中．（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式的解集为，求a的值．解：（Ⅰ）当时，可化为．由此可得或．故不等式的解集为或．(Ⅱ)由得此不等式化为不等式组或即或因为，所以不等式组的解集为由题设可得=，故．3．设函数．（Ⅰ）画出函数的图像；（Ⅱ）若不等式≤的解集非空，求a的取值范围．解：（Ⅰ）由于

2、则函数的图像如图所示．（Ⅱ）由函数与函数的图像可知，当且仅当或时，函数与函数的图像有交点．故不等式的解集非空时，的取值范围为．84．解不等式．解：或或．5．解不等式∣2x-1∣<∣x∣+1．解：当x<0时,原不等式可化为；又不存在;当时,原不等式可化为又当综上,原不等式的解集为6．如图，O为数轴的原点，A,B,M为数轴上三点，C为线段OM上的动点，设x表示C与原点的距离，y表示C到A距离4倍与C道B距离的6倍的和．（1）将y表示成x的函数；（2）要使y的值不超过70，x应该在什么范围内取值？w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解：（Ⅰ）（Ⅱ）依题意，x满足{解不等

3、式组，其解集为【9，23】；所以w.w.w.k.s.5.u.c.o.m7．求

4、2x-3

5、+

6、3x+2

7、的最小值.解：

8、2x-3

9、+

10、3x+2

11、=

12、2x-3

13、+

14、2x+

15、+

16、x+

17、≥

18、（2x-3）-（2x+）

19、+

20、x+

21、≥4+0=4。当x=-时取等号，∴

22、2x-3

23、+

24、3x+2

25、的最小值为4．8．已知函数=

26、x-2

27、x-5

28、．（I）证明：≤≤3；（II）求不等式≥x2x+15的解集．解：（I）当所以（II）由（I）可知，当的解集为空集；当；当.8综上，不等式9．设函数．（Ⅰ）若，解不等式；（Ⅱ）如果关于的不等式有解，求的取值范围．解：（Ⅰ）当时，由，得，①当时，不等式

29、化为即所以，原不等式的解为②当时，不等式化为即所以，原不等式无解.③当时，不等式化为即所以，原不等式的解为综上，原不等式的解为（Ⅱ）因为关于的不等式有解，所以，因为表示数轴上的点到与两点的距离之和，所以，解得，所以，的取值范围为10．已知函数.（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对一切实数恒成立，求实数m的取值范围.解法一：（Ⅰ）由得，解得．又已知不等式的解集为，所以解得．（Ⅱ）当时，．设，8解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）当时，．设．由（当且仅当时等号成立）得，的最小值为5．从而，若即对一切实数恒成立，则的取值范围为．二、利用柯西不等式、均

30、值不等式求最值、证明不等式、求参数的取值范围1、不等式证明11．设是非负实数，求证：．证明：由是非负实数，作差得当时，，从而，得；当时，，从而，得；所以。2、均值不等式12．已知x，y，z均为正数．求证：证明：因为x，y，z无为正数．所以，同理可得，当且仅当x＝y＝z时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得．………………6分813．已知均为正数，证明：，并确定为何值时，等号成立．3、柯西不等式14．已知，求的最小值．解：∵，∴，∴，当且仅当：，即，∴，∴，时，的最小值为。815．若求的最小值，并求此时的值．解、用柯西不等式，因故所以因此当且

31、仅当时，16．已知，且，求的最小值．解法一：注意到，且为定值，利用柯西不等式得到，从而，当且仅当时取“＝”号，所以的最小值为3．解法二：可考虑利用基本不等式“”进行求解，由＝，从而求得，当且仅当时取“＝”号，所以的最小值为3．17．已知a2+b2+c2=1(a，b，c∈)，求a+b+c的最大值．（法一）解：∵，，，,∴.当且仅当时，取得最大值．（法二）解：∵，，∴∵,∴，当且仅当时等号成立，∴的最大值为．18．已知实数满足，求的最大值和最小值．解：由柯西不等式得即由条件可得，，解得当且仅当时等号成立，代入8时，，时，．19．已知函数的最小值为，实数满足.（Ⅰ）求的值

32、；（Ⅱ）求证：．解：（Ⅰ）法一：，可得函数的最小值为2.故.法二：，当且仅当时，等号成立，故.（Ⅱ）即：,故.20．已知a，b，c为实数，且（I）求证：（II）求实数m的取值范围．解：①由柯西不等式得即当且仅当取得等号．②由已知得又21．将12cm长的细铁线截成三条长度分别为、、的线段，（I）求以、、为长、宽、高的长方体的体积的最大值；（II）若这三条线段分别围成三个正三角形，求这三个正三角形面积和的最小值．解：（I），；当且仅当时，等号成立.（II）设正三角形的边长为，则∴这三个正三角形面积和为：8当且仅当时，等号成立.8