数学分析试题库--证明题--.pdf

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1、数学分析题库（1-22章）五．证明题1．设A，B为R中的非空数集，且满足下述条件：（1）对任何aA,bB有ab；（2）对任何0，存在xA,yB，使得Yx.证明：supAinfB.证由（1）可得supAinfB.为了证supAinfB，用反证法.若supAinfB，设infBsupA,xA,yB，使得yx.002.设A，B是非空数集，记SAB，证明：（1）supSmaxsupA,supB；（2）infSmininfA,infB证（1）若A，B中有一集合无上界，不妨设A无上界，则S也是无上界数集，于是supA,

2、supS，结论成立.若A，B都是有上界数集，且supBsupA，现设法证明supSsupA:（ⅰ）xS，无论xA或xB，有xsupA;（ⅱ）>0,xA,x>supA,于是xS,000x>supA.0同理可证（2）.3.按N定义证明5n2n25limn3n2235n2n25证3n2233n43(3n22)4n≤（n>4）32n22，3n2取Nmax1,4，当n>N时，35n2n25<.3n223注扩大分式是采用扩大分子或缩小分母的方法.这里先限定n>4，扩大之后的分式

3、12G(n)仍是无穷小数列.3n4.如何用ε-N方法给出limaa的正面陈述？并验证

4、n2

5、和

6、(1)n

7、是发散数列.nn答limaa的正面陈述：>0，NN，n≥N，使得n0n

8、aa

9、≥n0数列{a}发散aR，limaa.nnn11（1）an2.a，=，NN，只要取nmaxa,N，便可使

10、n2a

11、n042121≥n2

12、a

13、≥a

14、a

15、≥，于是{n2}为发散数列.24（2）a(1)n.若a=1，=1，取n为任何奇数时，有

16、a1

17、2>.若a=-1，

18、n0n01=1，取n为任何偶数时，有

19、a(1)

20、2>.若a≠1，=min{

21、a1

22、,

23、a1

24、}，0n002对任何nN，有

25、aa

26、≥.故

27、(1)n

28、为发散数列.n05.用方法验证：x2x2lim3.x1x(x23x2)解（1）消去分式分子、分母中当x1时的零化因子（x-1）：x2x2(x2)(x1)x2f(x).x(x23x2)x(x1)(x2)x(x2)（2）把f(x)(3)化为(x)x1，其中(x)为x的分式：x23x25x2

29、3x2

30、f(x)33

31、x1

32、

33、，x(x2)x(x2)

34、x22x

35、3x2其中(x).x22x1（3）确定x1的邻域0<

36、x-1

37、<，并估计(x)在此邻域内的上界：取，当0210<

38、x-1

39、<时，可得253x2≤3

40、x1

41、1，223

42、x22x

43、

44、1(x1)2

45、，4于是5

46、3x2

47、102.

48、x22x

49、334

50、3x2

51、103（4）要使

52、f(x)3

53、

54、x1

55、≤

56、x1

57、，只要取

58、x1

59、.于是应取

60、x22x

61、31013min,，210当0<

62、x-1

63、<时，

64、f(x)(3)

65、.6用M方法验证：x1lim.x

66、x21x2x1x21x1解x21x22(x21x)2(x21x)2注意到当n时，上式可以充分小，但是直接解不等式1，2(x21x)2希望由此得到x<-M，整个过程相当繁复，现用放大法简化求M的过程.因为由1111，2(x21x)22(2x)28x2111便可求得x2，考虑到x所需要的是x.于是0,M，当888x<-M时，x1.x21x27设lim(x)a，在x某邻域U(x;)内(x)a，又limf(t)A.证明001xxta0lim

67、f((x))A.（1）xx0解由limf(t)A，0,0,tU(x;)时，0taf(t)A.3又因为lim(x)a，故对上述0,0（不妨取），当xU(x;)时，10xx0(x)a.由此可得：0,0,当xU(x;)时0f((x))A，即limf((x))A.xx0注称（1）为复合求极限法，（1）不仅对xx型的极限成立，且对于0x,x,x,xx,xx都成立.008.设f(x)在点x的邻域内有定义.试证：