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1、数学分析题库（1-22章）五．证明题1．设A，B为R中的非空数集，且满足下述条件：（1）对任何有；（2）对任何，存在，使得.证明：证由（1）可得.为了证，用反证法.若，设，使得.2.设A，B是非空数集，记，证明：（1）；（2）证（1）若A，B中有一集合无上界，不妨设A无上界，则S也是无上界数集，于是，结论成立.若A，B都是有上界数集，且，现设法证明（ⅰ），无论或，有（ⅱ）于是同理可证（2）.3.按定义证明证≤（n>4），取，当n>N时，45<.注扩大分式是采用扩大分子或缩小分母的方法.这里先限定n>4，扩大之后的分式仍是无
2、穷小数列.4.如何用ε-N方法给出的正面陈述？并验证
3、
4、和
5、
6、是发散数列.答的正面陈述：>0，，≥N，使得
7、
8、≥数列{}发散，.（1），=，，只要取，便可使≥≥≥，于是{}为发散数列.（2）.若a=1，=1，取为任何奇数时，有>.若a=-1，=1，取为任何偶数时，有>.若a≠1，=，对任何n，有
9、
10、≥.故
11、
12、为发散数列.5.用方法验证：.解（1）消去分式分子、分母中当时的零化因子（x-1）：.（2）把化为，其中为x的分式：，其中.（3）确定的邻域0<
13、x-1
14、<，并估计在此邻域内的上界：取45，当0<
15、x-1
16、<时，可得≤
17、，，于是.（4）要使≤，只要取.于是应取，当0<
18、x-1
19、<时，.6用方法验证：.解注意到当时，上式可以充分小，但是直接解不等式，希望由此得到x<-M，整个过程相当繁复，现用放大法简化求M的过程.因为由，便可求得，考虑到所需要的是.于是，当x<-M时，.7设，在某邻域内，又证明.（1）45解由，时，.又因为，故对上述（不妨取），当时，.由此可得：当时，即.注称（1）为复合求极限法，（1）不仅对型的极限成立，且对于都成立.8.设在点的邻域内有定义.试证：若对任何满足下述条件的数列，，，，（2）都有，则.分析由归结原则可知：上
20、述结论不仅是充分的，而且是必要的.本题可看作函数极限归结原则的加强形式，即子列只要满足（2）的加强条件就可以了.注意下面证明中选子列的方法.证用反证法.若，则，使得.取，，使得.取，，使得；…………取，，使得与相矛盾.所以成立.9.证明函数45在处连续，但是在处不连续.证时，因为，于是，即在x=0处连续.时，，在中取为有理数，取为无理数，于是.由函数极限柯西准则的否定形式可知在点处极限不存在，这样在点处不连续.时可类似地证明.10.设在（0，1）内有定义，且函数与在（0，1）内是递增的，试证在（0，1）内连续.需证在点连续
21、，即.因为在（0，1）内的递增性保证了在（0，1）内是递减的，所以为了证明的存在性，很自然地想到利用函数极限的单调有界定理.证因为在（0，1）内递增，所以在（0，1）内递减.，首先来证明=.当时，≤，由函数极限的单调有界定理存在.又由函数极限保不等式性质，有=≤.另外，由于在（0，1）内递增，因此当时，≤，令，有≤即=，由在（0，1）中的任意性，可得在（0，1）内连续.说明其中应用了基本初等函数的连续性.11.试证函数，在上是不一致连续的.分析需确定，可找到满足，但≥.45由于在任意闭区间（a>0）上一致连续，因此当很小时
22、，必须在中寻找，这是证明中的困难之处.现不妨取，，当n充分大时，能满足，但≥1.证，取，，当时，使，但≥，即在上不一致连续.12.设函数在（a,b）内连续，且==0，证明在（a,b）内有最大值或最小值.分析因为==0，于是可把延拓成[a,b]上的连续函数，然后可以应用连续函数的最大、最小值定理.证人先把函数延拓成[a,b]上的函数F(x)，设易知为[a,b]上的连续函数，这是因为==0=，==0=.在[a,b]上对应用连续函数的最大、最小值定理，即，，在，分别取得最大值和最小值.若，，则在（a,b）内恒为零，显然在（a,b
23、）内同样能取得最大值和最小值；若，中有一个数在（a,b）内，则在（a,b）内取得最大值或最小值.13.证明：若在有限区间（a,b）内单调有界函数是连续的，则此函数在（a,b）内是一致连续的.分析因为45是（a,b）内的单调有界函数，所以由函数极限的单调有界定理，可得存在，.证明本题的合理途径是把延拓成闭区间[a,b]上的连续函数在[a,b]上应用一致连续性定理.证因为是（a,b）内的单调有界函数，所以由函数极限的单调有界定理，与都存在，应用范例1中的方法，可把延拓为[a,b]上的连续函数，即由一致连续性定理，可得在[a,b
24、]上一致连续，于是为（a,b）内的一致连续函数.14.证明：若在点a处可导，f（x）在点a处可导.分析一般情况下，若在点处可导，在点处不一定可导.例如处可导，但在点0处不可导，反之，若在点处可导，一般也不能推得f（x）在点x0处可导.例如处可导，但处不连续，因而不可导，然而，若在点a处连续，则由在点a处
