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1、数学分析题库（1-22章）五．证明题1．设A，B为R中的非空数集，且满足下述条件：（1）对任何有；（2）对任何，存在，使得.证明：2.设A，B是非空数集，记，证明：（1）；（2）3.按定义证明4.如何用ε-N方法给出的正面陈述？并验证
2、
3、和
4、
5、是发散数列.5.用方法验证：.6．用方法验证：.7.设，在某邻域内，又证明.8.设在点的邻域内有定义.试证：若对任何满足下述条件的数列，（1），，（2），都有，则.9.证明函数10在处连续，但是在处不连续.10.设在（0，1）内有定义，且函数与在（0，1）内是递增的
6、，试证在（0，1）内连续.11.试证函数，在上是不一致连续的.12.设函数在（a,b）内连续，且==0，证明在（a,b）内有最大值或最小值.13.证明：若在有限区间（a,b）内单调有界函数是连续的，则此函数在（a,b）内是一致连续的.14.证明：若在点a处可导，f（x）在点a处可导.15.设函数内可导，在[a,b]上连续，且导函数严格递增，若证明，对一切均有16.设函数在内可导，并且，试证：若当时，有则存在唯一的使得，又若把条件减弱为，所述结论是否成立？17.证明不等式18.设为上的连续函数，对所有，且，
7、证明必能取到最大值.19.若函数在上二阶可导,且，，，则存在使得.20.应用函数的单调性证明1021.设函数（为实数），试问：（1）等于何值时，在连续；（2）等于何值时，在可导；（3）等于何值时，在连续；22.设在上具有二阶导数，且满足条件，，其中都是非负常数，是内的任一点，证明23.设函数上连续，在（a,b）内二阶可导，则存在使得24.若在点的某个领域上有阶连续导函数,试由泰勒公式的拉格朗日型余项推导佩亚诺型余项公式.25.用泰勒公式证明:设函数在上连续,在内二阶可导,则存在,使得.26.设函数在上二阶
8、可导,且在上,.证明在上成立.27.设是开区间I上的凸函数,则对任何,在上满足利普希茨(Lipschitz)条件,即存在,对任何,成立.28.设在上满足Lipschitz条件：,证明10在上一致连续.29.试证明方程在区间内有唯一实根。30.设函数在点具有连续的二阶导数，试证明：31.设在上可导，且.求证：存在，使.32.设在上连续，在内有阶导数，且存在个点满足：求证：存在，使.33.设函数在点存在左右导数，试证在点连续.34.设函数在上可导，证明：存在，使得.35．应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：，
9、其中.36.证明:任何有限数集都没有聚点.37.设是一个严格开区间套,即满足,且.证明:存在唯一的一点,使得.38.设为单调数列.证明:若存在聚点,则必是唯一的,且为的确界.39.若函数在闭区间上连续,证明在上一致连续.1040.若函数在闭区间上连续,证明在上有界.41.若函数在闭区间上连续,证明在上有最大值.42.若函数在闭区间上连续且单调增加,证明为上的增函数.43.函数在闭区间上连续.证明.44.若函数在闭区间上单调,证明在上可积.45.若函数在闭区间上连续,且不恒等于零,证明.46.设函数为上以为
10、周期的连续周期函数.证明对任何实数,恒有.47.若函数在上连续,且,证明.48.若函数和在上可积,证明.49.若函数在上可积,且为偶函数,证明.50.若函数在上可积,证明函数在上连续.51.若函数在闭区间上连续,且.若为介于与之间的任何实数,则存在,使得.52.若函数在上连续,证明函数在上处处可导,且.53.若数列有,则级数发散.1054.设为正项级数,且存在常数,使得对一切,成立.证明级数收敛.55.设和为正项级数,且对一切,成立.级数收敛.证明级数也收敛.56.设正项级数收敛.证明级数也收敛.试问反之
11、是否成立?57.设,且有界,证明级数收敛.58.设级数收敛.证明级数也收敛.59.若,且级数绝对收敛,证明级数也收敛.若上述条件中只知道级数收敛,能推得级数也收敛吗?60.设,证明级数收敛.61..证明在内,.62.设数列单调收敛于零.试证明:级数在区间上一致收敛.63.几何级数在区间上一致收敛；但在内非一致收敛.64.设数列单调收敛于零.证明:级数在区间上一致收敛.1065.证明级数在R内一致收敛.66.证明函数满足微分方程.67.设证明对存在并求其值.68.证明：幂级数的和函数为,.并求级数和Leib
12、niz级数的和.69.证明：幂级数的和函数为,.并利用该幂级数的和函数求幂级数的和函数以及数项级数的和.70.证明幂级数的和函数为，并利用该幂级数的和函数求数项级数的和.71.设是以为周期的分段连续函数,又满足.求证的Fourier系数满足72.设是以为周期的分段连续函数,又设是偶函数，且满足.求证：的Fourier系数73．求证函数系是上的正交函数系.74．设是以为周期的连续的偶函数。又设关于对称，试证：的傅立叶系数：.75
