理解幂级数的概念和性质掌握泰勒级数展开方法教学重点课件.ppt

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1、教学目的：理解幂级数的概念和性质，掌握泰勒级数展开方法教学重点：幂级数性质，函数展开成泰勒级数教学难点：一般级数求和第四讲幂级数主视图函数项级数幂级数收敛域运算加减运算微分运算积分运算函数展开收敛半径泰勒级数麦克劳林基数直接展开间接展开函数项级数给定一个无穷函数列un(x)称为级数的一般项或通项．称为级数的部分和函数数列有极限称级数在x=x0收敛,否则,称级数在x=x0发散称为{un(x)}的函数项级数,简称为{un(x)}的级数全部收敛点的集合称为级数的收敛域称为级数的和函数回主视图形如的函数项级数，称为的幂级数，其中称为幂

2、级数的系数．当时称为x的幂级数幂级数回主视图令则收敛半径的x是变量,故可以视为任意项级数来判定考察(1)若则则发散绝对收敛收敛性不确定则发散,但令(2)若(3)若称R为幂级数的收敛半径例1求幂级数的收敛域．解　收敛半径收敛区间为(－1，1)．当时，级数成为交错级数，收敛；级数成为，发散．所以该级数的收敛域为.解收敛半径当时，收敛域为，即级数仅在处收敛．的收敛域．例2求幂级数例题所以该级数的收敛域为.解收敛半径例4求幂级数的收敛域．，因为，上述级数变为t的幂级数解令因此的收敛区间为(－2，2)．当时，级数成为，发散；调和级数当时

3、，级数成为交错级数，收敛．从而原级数的收敛域为.的收敛域为，所以级数的收敛域．例3求幂级数例题解　幂级数缺少偶数次幂的项，不属于级数(9-13)的标准形式，因此不能直接用公式(9-14)求收敛半径，这时可以根据比值审敛法求其收敛半径：当时，所给级数绝对收敛；当时，所给级数发散．．则幂级数的收敛半径的收敛半径．例5求幂级数例题回主视图两收敛的幂级数在公共的收敛区间幂级数的加法幂级数在收敛区间内可以逐项求导，求导后所得幂级数的收敛半径不变，其和函数为原级数的和函数的导数．微分运算幂级数在收敛区间内可以逐项积分，积分后所得幂级数的收

4、敛半径不变，其和函数为原级数的和函数在相应区间上的积分．积分运算例6求幂级数的和函数．解　设和函数为，即两端求导，并注意到可得上式两端从0到x积分，得由于．又当时，收敛，所以例题上式中令x=1，得例7求幂级数的和函数，并求级数的和．，则解设和函数为,上式两端从0到x积分，得,由于．又当，两端求导得收敛，所以例题在的某若函数邻域内具有直到阶导数,泰勒级数的n阶泰勒公式则在该邻域内如果在点数，则在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是的某邻域定理　设函数在点内具有各阶导的泰勒公式的余项当时趋于零，即在内能展开为泰勒级数，即证必要

5、性设对一切成立．我们把n阶泰勒公式写成其中项之和，因此的前因此条件是必要的．充分性设则有证明内收敛，并且收敛于.即的泰勒级数在因此条件是充分的．回主视图称为函数的麦克劳林级数．麦克劳林级数回主视图Ⅰ．直接展开法，如果在处某阶并求出收敛半径R．，第二步写出幂级数导数不存在，就停止进行．及第一步求的极限，如果第三步考察当x在区间函数展开如果极限不为0，则上面第二步求得的幂级数不收敛于.则函数在内幂级数展开式为对于任何有限的数，例1将函数展开成x的幂级数．．于是得级数，余项的绝对值为，而解　因为例题因为有限，而是收敛级数的一般项，则

6、时，．于是得展开式例2将函数展开成x的幂级数．．于是得级数对于任何有限的数,，余项的绝对值当时的极限为零：解因例题因此得展开式用同样的方法可以推出牛顿二项展开式：这里m为任意实数．当m为正整数时，就是中学所学的二项式定理．第一讲初等函数回主视图用直接方法将函数展开成幂级数，往往比较麻烦，因为首先要求出函数的高阶导数，除了一些简单函数外，一般函数的n阶导数的表达式很难求得．其次要考察余项Rn(x)是否趋于零，这也不是件容易的事．由于函数的幂级数展开式是唯一的，我们可以利用已知函数的展开式及幂级数的运算，将所给函数展开成幂级数，这

7、种间接展开的方法往往比较简单．Ⅱ．间接展开法间接展开两端求导，得例3将函数展开成x的幂级数．例题解　因为以上展开式对x=1也成立，这是因为上式右端的幂级数当x=1时收敛，而例4将函数展开成x的幂级数．的和函数：所以将上式从0到x逐项积分，得在x=1处有定义且连续．解　因例题解:例6将函数展开成(x－1)的幂级数．展开成x的幂级数．例5　将函数例题解因为由于故有例7将函数展开成的幂级数．解　因为例题又故对，有回主视图