教学目理解幂级数概念,Abel定理内容教学重点Abel.ppt

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1、教学目的：理解幂级数的概念，Abel定理内容教学重点：Abel定理的证明教学难点：运用Abel定理解决实际问题幂级数前面已经学习了函数项级数的概念及其收敛性，今天我们学习一类特殊的函数项级数——幂级数。幂级数的形式为：（1）（2）或其中为常数，称为幂级数的系数，也为常数。若把（2）中的换成就得到（1）。幂级数首先要讨论它的收敛性问题！！显然在时是收敛的，它收敛于除之外，还有收敛点吗？取得到的常数项级数收敛；取得到的常数项级数发散。可见，不能笼统地判断一个幂级数的敛散性，而应该考虑x在哪个范围内幂级数收敛，这就引出了收敛半径和收敛区间两个概念。对于幂级数，取得到的常数项

2、级数收敛；取得到的常数项级数发散。可见，不能笼统地判断一个幂级数的敛散性，而应该考虑x在哪个范围内幂级数收敛，这就引出了收敛半径和收敛区间两个概念。定理1（Abel定理）对于幂级数(1)如果在处收敛对绝对收敛(2)如果在处发散对发散证明：（1）设收敛数列收敛于零且有界，即则对满足不等式的设有由于收敛，由比较原则知当时绝对收敛。（2）设处发散，假设存在某个且使有收敛，由（1）知在时绝对收敛，矛盾！故结论（2）成立。对于给定的幂级数在某点的敛散性，问题能否判断的领域内点的敛散性呢？几何意义问题是否存在某个实数R，使得幂级数在时收敛，在时发散？若存在如何具体来求R？结合定理

3、知：幂级数必在以原点为中心的区间内收敛，即使得对满足的任何x，幂级数收敛；对满足的任何x，幂级数发散；此时称R为的收敛半径。若幂级数在收敛，那么它在可能发散吗？若幂级数在收敛，那么它在收敛吗？幂级数仅在点x=0收敛，规定收敛半径R=0；如果幂级数在收敛，规定。定理2对于幂级数若则当(i)时，幂级数的收敛半径(ii)时，幂级数的收敛半径(iii)时，幂级数的收敛半径证对幂级数，由于由根式判别法，当时，级数收敛；当时级数发散.于是时，由得幂级数收敛半径当时，对皆有所以当时，除外任何皆有所以R为收敛半径,由数项级数判别法知：若则有因此可用比式判别法来推出幂级数的收敛半径.例

4、1求下列幂级数的收敛半径，收敛区间，收敛域.(1)(2)解:(1)则收敛半径收敛区间为当时发散;当时收敛;故收敛域为(2)将看成一个整体，则收敛区间为分别讨论当的情形，得收敛域为问若收敛区间为则收敛半径是多少？收敛区间为收敛半径为多少？练习求下列幂级数的收敛半径，收敛区间，收敛域.1.2.小结1.幂级数的定义：2.幂级数的收敛半径，收敛区间，收敛域或对于幂级数若则收敛域再考虑端点的情形作业习题感谢