概率论与数理统计教程第四章课件.ppt

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1、Ch4大数定律与中心极限定理随机事件在大量重复试验中中出现的频率具有稳定性教学内容与基本要求§4.1伯努利大数定理，切比雪夫大数定理，辛钦大数定理§4.2随机变量序列的两种收敛性§4.3棣莫弗—拉普拉斯定理，列维—林德伯格定理§4.1大数定律一、伯努利大数定理二、切比雪夫大数定理三、辛钦大数定理返回目录一、伯努利大数定理设事件A在每次试验中发生的概率为p,n次重复独立试验中事件A发生的次数为nA,则对任意正数有或二、切比雪夫大数定理若X1,X2,‥,Xn相互独立,每个Xk的方差存在,且一致有界，即存

2、在常数c,使得令则对任意正数有或意义：当n很大时,相互独立方差一致有界的随机变量的平均值依概率收敛于它的数学期望.三、辛钦大数定理若X1,X2,‥,Xn相互独立,服从同一分布,且具有相同的数学期望对任意正数有意义：当n很大时,独立同分布的随机变量的平均值依概率收敛于它的数学期望§4.2随机变量序列的两种收敛性一、依概率收敛大数定律：样本均值依概率收敛于分布的期望二、依分布收敛中心极限定理：样本均值依分布收敛于正态分布返回目录一、依概率收敛概率的频率解释：随着观测次数n的增加，频率将会逐渐稳定到概率.

3、设在一次观测中事件A发生的概率为如果观测了n次，事件A发生了次，则当n充分大时，A在次观测中发生的频率逐渐稳定到概率p。那么不对，若则对于，总存在,当时，有成立。但若取,由于即无论N多大,在N以后,总可能存在n,使所以不可能在通常意义下收敛于p。二、依分布收敛考虑随机序列，其中直观：集中在0处，收敛到0但（Chebyshev不等式）两种收敛的定义定义：令为随机变量序列，X为另一随机变量，用Fn表示Xn的CDF，用F表示X的CDF1、如果对每个，当时，则Xn依概率收敛于X，记为。2、如果对所有F的连续

4、点t，有则Xn依分布收敛于X，记为。两种收敛的定义当极限分布为点分布时，表示为依概率收敛：依分布收敛：其他收敛还有一种收敛：均方收敛（L2收敛，convergetoXinquadraticmean）对证明概率收敛很有用当极限分布为点分布时，记为对应还有：L1收敛（convergetoXinL1）依概率收敛随机变量序列，当对任意，则称随机变量序列几乎处处依概率收敛到X（convergealmostsurelytoX），记为：几乎处处收敛：比依概率收敛更强其他收敛或或各种收敛之间的关系点分布，c为实数L

5、1almostsurely(L2)反过来不成立！QuadraticmeanprobabilitydistributionPoint-massdistribution§4.3中心极限定理一、列维—林德伯格定理若X1,X2,‥,Xn相互独立,服从同一分布,且具有相同的数学期望和方差：则随机变量的分布函数Fn(x)收敛到标准正态分布.即对任意x满足返回目录意义：均值为方差为的独立同分布的随机变量的和的标准化变量,当n充分大时,有（近似服从）二、棣莫弗—拉普拉斯定理设随机变量则对任意x,有显然其中X1,X2

6、,‥,Xn独立同服从意义:当n充分大时,二项分布可用正态分布来近似.考点与例题分析考点一：有关切比雪夫不等式考点二：大数定理考点三：中心极限定理考点一：有关切比雪夫不等式1.粗略估计X在内的概率；2.证明不等式.例1设随机变量X的数学期望EX=11,方差DX=9,则根据切比雪夫不等式估计解由有考点二：大数定理大数定理描述了独立同分布的随机变量的在一定的条件下依概率收敛于它的数学期望平均值例2设X1,X2,‥,Xn相互独立,它们满足大数定理,则Xi的分布可以是(D)Xi的密度函数(C)Xi服从参数为的

7、泊松分布.(B)Xi服从参数为的指数分布.分析：只须判断序列是否满足大数定理:独立同分布且数学期望存在；（辛钦）或独立但分布不同，而数学期望方差存在且方差一致有界.（切比雪夫）(A)解选A.因为(A)中Xi独立同分布,且（收敛）存在，(D)中Xi独立同分布,但EXi不存在，因发散.(B),(C)中Xi不同分布,且(B)中DXi=i2,(C)中DXi=1/i均是i的无界函数.例3设X1,X2,‥,Xn相互独立,同服从参数为2的指数分布,则当时,依概率收敛于___.分析：由辛钦大数定理知,独立同分布且期

8、望存在的随机变量序列的平均值依概率收敛于它的期望.因此只须求Yn的期望.解因X1,X2,‥,Xn独立同分布,故X12,X22,‥,Xn2独立同分布.考点三：中心极限定理求解步骤：1.正确选择独立同分布随机变量X1,X2,‥,Xn；2.将标准化：3.近似计算：例4检查员逐个地检查某产品,每次花10秒钟检查一个,但也可能有的产品需要再花10秒种重新检查一次,假设每个产品需要复检的概率为0.5,求在8小时内检查员检查的产品个数多于1900个的概率是多少？分析在8小时内检查员