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1、数列计算类精品文档数列训练3计算1已知等差数列的首项为，公差为，等比数列的首项为，公比为(其中均为正整数)．(Ⅰ)若，求数列、的通项公式；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若成等比数列，求数列的通项公式；(Ⅲ)若，且至少存在三个不同的值使得等式成立，试求、的值．解：（Ⅰ）由得：，解得：或，，，从而…………………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)得，构成以为首项，为公比的等比数列，即：………………………………………………………7分又，故，…………………………………………10分(Ⅲ)由得：，由得：；由得：，而，即：，从而得：，，当时，不合题意，故舍
2、去，收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档所以满足条件的.…………………………………………………………………12分又，，故，即：①若，则，不合题意；…………………………………14分②若，则，由于可取到一切整数值，且，故要至少存在三个使得成立，必须整数至少有三个大于或等于3的不等的因数，故满足条件的最小整数为12，所以的最小值为，此时或或122.（3）若,，记直线的斜率为，数列前8项依次递减，求满足条件的数列的个数。⑶．又数列前项依次递减，∴对成立，即对成立．又数列是递增数列，∴，只要时，即．又，，易得则或．当时，，，有解；当
3、时，，即，有解．∴数列共有个．收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档3．设数列是一个严格递增的正整数数列．(1)若是该数列的其中两项，求证:;(2)该数列的两个子数列和都是等差数列，求证:这两个子数列公差等;(3)若(2)中的公差为1，求证:,并证明数列也是等差数列．证：(1)由条件知:．(2)设两子数列的首项分别为公差分别为．即上式左，右端皆为常数,中间的N,故必须，(3)公差为1,．又数列是严格递增的正整数数列,又由(1)知．故即数列是公差为1的等差数列．4、（16分）定义：对于任意，满足条件且（是与无关的常数）的无穷数
4、列称为数列．（1）若()，证明：数列是数列（2）设数列的通项为，且数列是数列，求的取值范围；（3）设数列()，问数列是否是数列？请说明理由．解：(1)由得所以数列满足.()单调递减,所以当n=1时，取得最大值-1，即.所以，数列是数列.……4分收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档(2)由得，当,即时，，此时数列单调递增；……………6分而当时，，此时数列单调递减；因此数列中的最大项是，所以，的取值范围是.……………9分（3）假设数列是数列，依题意有：…11分因为,所以当且仅当小于的最小值时,对任意恒成立，即可得.……………1
5、4分又当时，,，故综上所述：当且时，数列是数列．……………16分5.设数列{an}满足a1=3，an+1=2an＋n·2n+1＋3n，n≥1。(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{an}的前n项之和Sn。解:(1)an=2n-1·(n2-n)＋3n。(2)Sn=Mn＋3＋32＋…＋3n=-(n-2)·2n+1＋(n-1)·n·2n-4。收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档6．（本小题满分16分）设等比数列的首项为，公比为（为正整数），且满足是与的等差中项；数列满足（）．（Ⅰ）求数列的通项公式（Ⅱ）试确定的值，使得数
6、列为等差数列；（Ⅲ）当为等差数列时，对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个新数列.设是数列的前项和，试求满足的所有正整数.7已知为二次函数，不等式的解集为，且对任意，恒有，.数列满足，（1）求函数的解析式；（2）设，求数列的通项公式；（3）若（2）中数列的前项和为，求数列的前n项和.19.（1）（2）.（3）8（本题满分16分）在正项数列中,令.（Ⅰ）若是首项为25,公差为2的等差数列,求；收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档（Ⅱ）若（为正常数）对正整数恒成立,求证为等差数列；（Ⅲ）给定正整数,正实数,对于满足的所有等差
7、数列,求的最大值.【解】（Ⅰ）解：由题意得,,所以=…(4（Ⅱ）证:令,,则=1………………………(5分)所以=（1）=（2）,（2）—（1）,得—=,化简得（3）……………………………………(7分)（4）,（4）—（3）得(9在（3）中令,得,从而为等差数列………………………(10分)（Ⅲ）记,公差为,则=……则,……………………(14分)收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档则,当且仅当,即时等号成立(16分)故所求最小正整数m为6.9．定义在上的函数和数列满足下列条件：，，当且时，且．其中、均为非零常数．（3）试研究数
8、列为等比数列的充要条件，并证明你的结论．解：（3）是等比数列的充要条件是………………9分充分性证明：若，则由已知，得所以，是等比数列．必要性证明：若是等比数列，由（2）知，，．当时，．上式对也成立，所以，数列的通项公式为：．所以，当时，数列是以为首
