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时间:2020-08-03
《2019年高考数学练习题汇总(四)不等式选讲.docx》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、(四)不等式选讲1.已知正数x,y满足x2+y2=2,求证:x+y≥2xy.证明 ∵x>0,y>0,∴要证x+y≥2xy,只要证(x+y)2≥4x2y2,即证x2+y2+2xy≥4x2y2.∵x2+y2=2,∴只要证2+2xy≥4x2y2,即证2(xy)2-xy-1≤0,即证(2xy+1)(xy-1)≤0.∵2xy+1>0,∴只要证xy≤1.∵2xy≤x2+y2=2,∴xy≤1成立,当且仅当x=y=1时取等号.∴x+y≥2xy.2.已知a,b,c都是正数且abc=1,求证:(2+a)(2+b)(2+c)≥27.证明 由算术-几何平均不等式可得2+a=1+1+a≥3
2、,2+b=1+1+b≥3,2+c=1+1+c≥3.不等式两边分别相乘可得,(2+a)(2+b)(2+c)≥3×3×3=27=27,当且仅当a=b=c=1时等号成立.3.已知函数f(x)=2
3、x-2
4、+3
5、x+3
6、.若函数f(x)的最小值为m,正实数a,b满足4a+25b=m,求+的最小值,并求出此时a,b的值.解 依题意知,f(x)=当x=-3时,函数f(x)有最小值10,故4a+25b=10,故+==≥=,当且仅当=时等号成立,此时a=,b=.4.(2018·镇江调研)已知函数f(x)=
7、x-a
8、+
9、x+a
10、,若对任意x∈R,不等式f(x)>a2-3恒成立,求实
11、数a的取值范围.解 ∵对任意x∈R,不等式f(x)>a2-3恒成立,∴f(x)min>a2-3,又∵
12、x-a
13、+
14、x+a
15、≥
16、x-a-(x+a)
17、=
18、2a
19、,∴
20、2a
21、>a2-3,即
22、a
23、2-2
24、a
25、-3<0,解得-1<
26、a
27、<3.∴-3
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