幂法及反幂法课件.ppt

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1、§2幂法及反幂法2.1幂法适合于计算大型稀疏矩阵的主特征值（按模最大的特征值）优点:方法简单理论依据：迭代法的收敛性问题的提法：称为迭代向量。(2.2)幂法的基本思想:任取一个非零初始向量，和对应的特征向量。即，且线性无关。求矩阵A的主特征值及对应的特征向量。由矩阵A的乘幂构造一向量序列设,其特征值为,对应特征向量为首先讨论则幂法:问题：即，且，线性无关。特征值满足：（且设）设,其特征值为,对应特征向量为的特征向量。1.A特征值中为强占优,即线性无关,即为Rn中一个基，于是对任意的初始向量有展开式。(用的线性组合表示),即为强占优。求矩阵的主特征值及对应即且收敛速度由

2、比值确定。说明，当k充分大时，有，或越来越接近特征向量所以有其中当k=2,3,…时，从而由假设（2.1）式,得其次讨论主特征值的计算。表示的第i个分量，则相邻迭代向量的分量的比值为即相邻迭代向量分量的比值收敛到主特征值,且收敛速度由则有敛可能很慢。比值来度量,r越小收敛越快,当而接近于1时,收结论：定理7（1）设有n个线性无关的特征向量；（2）设A的特征值满足（3）幂法：则2.A的主特征值为实的r重根，即问题：即，且，线性无关。特征值满足：设,其特征值为,对应特征向量为,求矩阵的主特征值及对应的特征向量。幂法:对任意的初始向量有不全为零），则有从而其中，且因此，当k充

3、分大时,接近于与对应的特征向量的某个线性组合(不全为零)。（且设（或趋于零），这样造成计算机中的“溢出”。为了克服这个问题，利用向量的方向与长度无关这一性质,将迭代向量的长度规范化以改进幂法。用幂法计算A的主特征值及对应的特征向量时,如果,,迭代向量的各个不等于零的分量将随而趋于无穷所谓向量长度规范化,就是将向量的分量同除以一个常数,使向量长度为1,向量长度有多种度量法,可以采用或,，其中i0为所有绝对值最大的分量中最小的指标。性质：设t为实数，3.幂法的改进§2幂法及反幂法2.1幂法称为迭代向量。(2.2)幂法的基本思想:任取一个非零初始向量，由矩阵A的乘幂构造一向

4、量序列1.A特征值中为强占优,即结论:2.A的主特征值为实的r重根,即结论:任取初始向量：迭代规范化则有迭代向量序列及规范化向量序列。3.幂法的改进由(2.7)及(2.8)式有(1)对规范化向量序列:改进幂法计算公式：先考虑与计算的关系。由于及其中于是，(2)对迭代向量序列:结论：即绝对值最大的分量当时，趋向于特征根。（2）设A特征值满足定理8（1）设有n个线性无关的特征向量；且（3）及由改进幂法得到的规范化向量序列及迭代向量序列((2.7)式),则有且收敛速度由比值确定。2.2加速方法(原点平移法)应用幂法计算A主特征值的收敛速度主要由比值来确定,当r<1但接近于1

5、时,收敛可能很慢，一个补救的办法是采用加速收敛的方法。引进矩阵B=A-pI，其中P是可选择的参数。设A的特征值为则B的特征值为且A,B特征向量相同。原点平移法的思想如果需要计算A的主特征值，适当选择p使满足：（1）是B的主特征值，即对B应用幂法,使得在计算B的主特征值的过程中得到加速。原点平移法(加速法)显然,不管B如何选取,矩阵B=A-pI的主特征值为1.设A的特征值是实数且满足：这种方法通常称为原点平移法。对于特征值的某种分布，它是十分有效的。求特征值的最大值当要求计算及x1时，首先考虑应选取p满足:其次,使或求极值问题当时，即或求极值问题时，值达到最小。即当的特

6、征值满足时,最佳的p值为说明:当能初步估计时，就可选择P*的近似值。另外，的推导可以理解为,因为收敛速度由确定,如果能把原点向靠拢,使小下去,则可加快收敛速度。但是当原点移来，收敛速度又慢下去，因此把原点移到与的中点最合适，如图示，取作为新原点。到某点使时，就代替了，而就成了,若大起说明：1在实际应用中,A的特征值并不知道，所以,p是无法由P.448例3说明该方法确实可以加速收敛。2.设A的特征值是实数且满足：且使当时，即最佳参数确定的，该方法只是告诉我们，当发现收敛速度慢时，可以适当移动原点加速收敛。要求，选取P满足求特征值的最小值2由以上讨论知,用原点平移法可以求

7、最大特征值与最小特征值.2.3反幂法(或逆迭代)设为非奇异矩阵,A的特征值满足：,对应特征向量线性无关，则A-1的特征值为，特征向量1、反幂法用来计算矩阵A按模最小的特征值及对应的特征向量计算A的按模最小的特征值的问题就是计算A-1按模最大的特征值问题。反幂法迭代公式：任取初始向量，若有n个线性无关的特征向量且其特征值满足：则由反幂法(2.11)构造的向量序列满足：且收敛速度由比值确定。2应用反幂法求一个近似特征值对应的特征向量。在反幂法中也可用原点平移法来加速收敛。问题：已知的特征值的一个近似值（通常用其它方法得到），求对应的特征向量（近似）。若A