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1、9.3幂法和反幂法9.3.2反幂法和原点位移9.3.1幂法和加速方法幂法是一种计算矩阵的按模最大的特征值与相应的特征向量的迭代方法。适合于大型稀疏矩阵反幂法是计算Hessenberg阵或对角阵的对应一个给定近似特征值的特征向量的有效方法.9.3.1幂法和加速方法在一些工程，物理问题中，通常只需要我们求出矩阵的按模最大的特征值(称为A的主特征值)和相应的特征向量，对于解这种特征值问题，应用幂法是合适的。幂法是一种计算n阶实矩阵A的主特征值的一种迭代法，它最大的优点是方法简单，对稀疏矩阵较合适，但有时收敛速度很慢．幂法的基本思想是任取一个非零的初始向量，由矩阵A构造一向量序列{vk}k
2、=0,1,2,…,n(3.1)称为迭代向量．由此计算按摸最大的特征值和特征向量。例1设实对称矩阵A为利用幂法求A的按模最大特征值。解：直接求解A的特征方程得利用幂法求A的按模最大特征值，任取迭代公式为考虑两个相邻向量相应分量之比即两相邻迭代向量的对应非零分量的比值一定收敛到主特征值？不一定.先讨论以下情况：(设),(3.2)于是其中由假设，知从而即两个相邻迭代向量的对应非零分量成比例,且主特征值为即两相邻迭代向量的对应非零分量的比值收敛到主特征值.这种由已知非零向量及矩阵A的乘幂构造向量序列{}计算A的主特征值及相应特征向量的方法称为幂法。(3.3)(3.4)由(3.3)式知，的收
3、敛速度由比值来确定越小收敛越快，但当≈1时收敛可能就很慢.总结上述讨论，有定理1设有个线性无关的特征向量，主特征值满足＞≥≥…≥，则对任何非零初始向量，均成立．两种特殊情况例1属于第一种情况的讨论。一般地，1.若迭代向量的各分量单调变化且有关系式则属于第一种情况。2.若迭代向量的各分量不是单调变化，且有关系式则属于第二种情况。(3.5)（或趋于零），这样造成计算机中的“溢出”。为了克服这个问题，利用向量的方向与长度无关这一性质,将迭代向量的长度规范化以改进幂法。用幂法计算A的主特征值及对应的特征向量时,如果,,迭代向量的各个不等于零的分量将随而趋于无穷所谓向量长度规范化,就是将向量
4、的分量同除以一个常数,使向量长度为1,向量长度有多种度量法,可以采用或,，其中i0为所有绝对值最大的分量中最小的指标。3.幂法的改进任取初始向量：迭代规范化则有迭代向量序列及规范化向量序列。由(3.7)及(3.8)式有(1)对规范化向量序列:先考虑与计算的关系。由于及其中于是，(2)对迭代向量序列:即绝对值最大的分量当时，趋向于特征根。注意：改进的幂法中主特征值不是两相邻迭代向量的对应非零分量的比值。（2）设A特征值满足定理2（1）设有n个线性无关的特征向量；且（3）及由改进幂法得到的规范化向量序列序列((3.7)式),则有且收敛速度由比值确定。及迭代向量改进的幂法下面我们把改进的
5、幂法简称为幂法。用（改进的）幂法求矩阵A的主特征值和主特征向量的步骤：第一步：由v０＝u０，计算第二步：由v1,u1，计算第三步：判断解：取初始向量,按(3.7)迭代5次得到数据如下表:k(规范化向量)011111110.21430.4821112.0027.0056.0020.18750.448318.35719.9844.5730.18600.446318.16819.6043.9240.18950.446018.15719.5743.8850.18590.446018.15619.5743.88例2：用幂法计算下面矩阵的主特征值及对应的特征向量。对应的特征向量为:故按模特征值
6、为:例3用幂法求矩阵的主特征值和主特征向量.K0(1.0000,1.0000,1)1(0.9091,0.8182,1)2.75000005(0.7651,0.6674,1)2.588791810(0.7494,0.6508,1)2.538002915(0.7483,0.6497,1)2.536625620(0.7482,0.6497,1)2.5365323表9-1有效数字。3.Rayleigh商加速9.3.2反幂法和原点位移反幂法是计算矩阵按模最小的特征值及特征向量的方法，也是修正特征值、求相应特征向量的最有效的方法。计算A的按模最小的特征值的问题就是计算A-1按模最大的特征值问题
7、。反幂法迭代公式：任取初始向量，设为非奇异矩阵,A的特征值满足：,对应特征向量线性无关，则A-1的特征值为，特征向量1、反幂法用来计算矩阵A按模最小的特征值及对应的特征向量若有n个线性无关的特征向量且其特征值满足：则由反幂法(3.11)构造的向量序列满足：且收敛速度由比值确定。111/4¼5/85/819/1619/1667/320½½5/8121/167/475/32301/3¾7/67/87/421/1623/869/32由于的平均值之倒数为而A的按模最小特征值精
