同济大学高等数学教案第四章微分方程教案资料.docx

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1、同济大学高等数学教案第四章微分方程精品文档高等数学教学教案第四章微分方程授课序号01教学基本指标教学课题第四章第一节微分方程的概念课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点微分方程的基本概念教学难点特解，通解参考教材同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》安玉伟等《高等数学定理方法问题》作业布置课后习题微积分标准化作业大纲要求了解微分方程、解、阶、通解、初始条件和特解等概念。教学基本内容一、基本概念：1、微分方程：含有未知函数及其它的导数与自变量之间的关系式称为微分方程（其中自变量、未知函数可以在方程中不出现，但未知函数的导数必须出现）.2、微分

2、方程的阶：微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶.一阶微分方程的一般形式为.二阶微分方程的一般形式为.阶微分方程的一般形式是:其中为自变量，是未知函数.在方程中必须出现，而其他变量可以不出现.3、微分方程的解：把函数代入微分方程能使方程称为恒等式，我们称这个函数为该微分方程的解.更确切地说，设函数在区间上有阶连续导数，如果在区间上，有则称函数为微分方程(10)在区间上的解.微分方程的解可能含有也可能不含有任意常数.一般地，微分方程的不含有任意常数的解称为微分方程的特解收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档.含有相互独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相等的解

3、称为微分方程的通解（一般解）.4、微分方程的初值问题：许多实际问题都要求寻找满足某些附加条件的解，此时，这类附加条件就可以用来确定通解中的任意常数，这类附加条件称为初始条件，也称为定解条件.带有初始条件的微分方程称为微分方程的初值问题.二、定理与性质：三、主要例题：例1一曲线通过点，且在该曲线上任一点处的切线的斜率为，求这曲线的方程.例2列车在平直线路上以(相当于)的速度行驶，当制动时列车获得加速度.开始制动后多少时间列车才能停住?列车在这段时间里行驶了多少路程?例3已知放射性物质镭的裂变规律是：裂变速度与余存量成比例.记在某一时刻镭的余存量为克，试确定镭在任意时刻的余存量.例3设一物体的温度

4、为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却.根据冷却定律：物体温度的变化率与物体和当时空气温度之差成正比，设物体的温度与时间的函数关系为，则可建立起函数满足的微分方程(1)其中为比例常数.这就是物体冷却的数学模型.例4设一质量为的物体只受重力的作用由静止开始自由垂直降落.根据牛顿第二定律：物体所受的力等于物体的质量与物体运动的加速度成正比，即，若取物体降落的铅垂线为轴，其正向朝下，物体下落的起点为原点，并设开始下落的时间是，物体下落的距离与时间的函数关系为，则可建立起函数满足的微分方程其中为重力加速度常数.这就是自由落体运动的数学模型.例5试指出下列方程是什么方程，并指出微分方程的阶数

5、.例6求曲线族满足的微分方程，其中为任意常数.例7验证函数(C为任意常数)是方程的通解,并求满足初始条件的特解.收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档授课序号02教学基本指标教学课题第四章第二节一阶微分方程课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点可分离方程，一阶线性方程教学难点方程类型判别参考教材同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》武汉大学同济大学《微积分学习指导》安玉伟等《高等数学定理方法问题》作业布置课后习题微积分标准化作业收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档大纲要求掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。会解齐次方程方

6、程，了解用变量代换求方程的思想。教学基本内容一、基本概念：1、设有一阶微分方程,如果其右端函数能分解成,即有,从而能够写成（1）的微分方程称为可分离的微分方程.2、如果一阶微分方程中的函数可化为，则称此方程为齐次方程.齐次方程通过变量替换转化为可分离变量方程求解.3、形如(2)的方程称为一阶线性微分方程.其中函数，是某一区间上的连续函数.一阶线性方程的当方程(2)成为(3)这个方程称为一阶齐次线性方程.相应地，方程(2)称为一阶非齐次线性方程.二、定理与性质：定理1（一阶非齐次线性方程的解的结构）一阶非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程的通解与一阶非齐次线性方程的一个特解之和.三、主要例

7、题：例1求微分方程的通解.例2求微分方程的通解.例3求满足的特解.例4已知当时，求例5求微分方程的通解.例6求解微分方程满足初始条件的特解.例7求解微分方程收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档例8利用变量代换法求方程的通解.例9求方程的通解.例10求下列微分方程满足所给初始条件的特解.，.例11求方程的通解.授课序号03教学基本指标教学课题第四章第三节二阶微分方程课的类型新知识课教学方法讲