高等数学教案

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1、高等数学教案第1次课学科高等数学（一）课题函数周次5时数2授课班级1202114主要教学内容：1、集合与区间2、函数概念3、函数的几种特性4、反函数5、复合函数·初等函数教学目的和要求：1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。2、理解函数的性质，掌握函数的四则运算。3、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。教学重点：1、函数的概念2、函数的特性3、复合函数教学难点：1、函数的概念2、函数的

2、特性教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体教学内容及教学过程教学过程§1函数一、集合与区间1.集合概念集合(简称集):集合是指具有某种特定性质的事物的总体.用A,B,C….等表示.元素:组成集合的事物称为集合的元素.a是集合M的元素表示为aÎM.集合的表示:列举法:把集合的全体元素一一列举出来.例如A={a,b,c,d,e,f,g}.描述法:若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成,则M可表示为A={a1,a2,×××,an},M

3、={x

4、x具有性质P}.例如M={(x,y)

5、x,y为实数,x2+y2=1}.几个数集:N表示所有自然数构成的集合,称为自然数集.N={0,1,2,×××,n,×××}.N+={1,2,×××,n,×××}.R表示所有实数构成的集合,称为实数集.Z表示所有整数构成的集合,称为整数集.Z={×××,-n,×××,-2,-1,0,1,2,×××,n,×××}.Q表示所有有理数构成的集合,称为有理数集.子集:若xÎA,则必有xÎB,则称A是B的子集,记为AÌB(读作A包含于B)或BÉA.如果集合A与集合B互为子集,

6、AÌB且BÌA,则称集合A与集合B相等,记作A=B.若AÌB且A¹B,则称A是B的真子集,记作AB.例如,NZQR.不含任何元素的集合称为空集,记作Æ.规定空集是任何集合的子集.2.集合的运算设A、B是两个集合,由所有属于A或者属于B的元素组成的集合称为A与B的并集(简称并),记作AÈB,即AÈB={x

7、xÎA或xÎB}.设A、B是两个集合,由所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为A与B的交集(简称交),记作AÇB,即AÇB={x

8、xÎA且xÎB}.设A、B是两个集合,由所有属于A而不属于B的元素组成的集合

9、称为A与B的差集(简称差),记作AB,即AB={x

10、xÎA且xÏB}.如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I中进行,所研究的其他集合A都是I的子集.此时,我们称集合I为全集或基本集.称IA为A的余集或补集,记作AC.集合运算的法则:设A、B、C为任意三个集合,则(1)交换律AÈB=BÈA,AÇB=BÇA;(2)结合律(AÈB)ÈC=AÈ(BÈC),(AÇB)ÇC=AÇ(BÇC);(3)分配律(AÈB)ÇC=(AÇC)È(BÇC),(AÇB)ÈC=(AÈC)Ç(BÈC);(4)对偶律(AÈB)C=ACÇ

11、BC,(AÇB)C=ACÈBC.(AÈB)C=ACÇBC的证明:xÎ(AÈB)CÛxÏAÈBÛxÏA且xÏBÛxÎAC且xÎBCÛxÎACÇBC,所以(AÈB)C=ACÇBC.直积(笛卡儿乘积):设A、B是任意两个集合,在集合A中任意取一个元素x,在集合B中任意取一个元素y,组成一个有序对(x,y),把这样的有序对作为新元素,它们全体组成的集合称为集合A与集合B的直积,记为A´B,即A´B={(x,y)

12、xÎA且yÎB}.例如,R´R={(x,y)

13、xÎR且yÎR}即为xOy面上全体点的集合,R´R常记作R2

14、.3.区间和邻域有限区间:设a

15、a

16、a

17、a£x£b}称为闭区间,[a,b)={x

18、a£x

19、a

20、a£x},(-¥,b]={x

21、x

22、

23、x

24、<+¥}.区间在数轴上的表示:邻域:以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域,

25、记作U(a).设d是一正数,则称开区间(a-d,a+d)为点a的d邻域,记作U(a,d),即U(a,d)={x

26、a-d

27、

28、x-a

29、

30、0<

31、x-a

32、