中考数学专题复习练习：轴对称与轴对称图形.doc

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1、典型例题一例01．下列图形中，不是轴对称图形的是（）（A）有两个角相等的三角形（B）有一个内角是的直角三角形（C）有一个内角是，另一个内角为的三角形（D）有一个角是的直角三角形分析：在（A）中，有两个角相等的三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形一定是轴对称图形，它的对称轴为底边上的高（或底边上的中线或顶角的平分线）.而（B）和（C）中的两个三角形同样也是等腰三角形，所以也是轴对称图形.那么（D）中三角形的三个内角各不相等，不是等腰三角形，所以（D）不是轴对称图形.解答：选（D）说明：在三角形中，只有等腰三角形才是轴对称图形，而不是等腰三角形的三角形就一定不是轴对称图形.典型例题二例02．已知

2、：直线MN，同侧两点A、B（如图）求作：点P，使P在MN上，并且最小.作法1．作点A关于直线MN的对称点.2．连结交MN于P点P就是所求作的点.说明这类问题经常遇到，可以和生活中的问题结合衍生出许多应用问题，但本质都是这道题.典型例题三例03．在图（a）中，分别作出点P关于OA、OB的对称点，，连结交OA于M，交OB于N，若，则的周长为多少？作法：略.解答：如图（b）所示，∵，P关于OA对称，∴同理可得.∴的周长∴的周长为.说明准确作图是关键.典型例题四例04．已知：（如图）四边形ABCD和过点D的直线MN，求作：四边形，使四边形与四边形ABCD关于MN对称.作法1．作，垂足为E；延长BE到

3、，使，得到点B的对称点.2．同法作点A和点C的对称点.3．因为D在对称轴MN上，所以点D的对称点重合.4．连结、、.四边形即为所求.说明关键是掌握概念和基本作图.典型例题五例05．有一条小河（如图所示），两岸有A、B两地，要设计道路并在河上垂直于河岸架一座桥，用来连接A、B间路线怎样走，桥应架在何处，才能使A到B的距离最短.分析：桥梁无论架在何处均垂直于河岸，因此桥梁的长度是定值，决定路程长度的关键是选取建桥点的位置，相对应地在河岸A地同测取一点，使B与河岸距离等于与河岸到桥头的距离之和，于是，这个总是转化为“直线同侧有两点A、，欲在直线上求一点，使这一点与A、距离之和最短.已知：如图，河岸

4、AB两地求作：线段CD，使CD与、均互相垂直，并且最小.作法：（1）作，与、分别交点、E，并且（2）在上取一点使（或者找到点关于的对称点）（3）连结，与交于C点，作，与交于D点，CD即为所求作的线段.典型例题六例06．如图所示，P是平分线AD上一点，P与A不重合，.求证：分析：用对称法.可利用轴对称图形的知识找出点B关于直线AD的对称点，因AD为的平分线，故在AC上，连结，从而构造与两个轴对称图形，再利用三角形两边之差小于第三边来证明.证明：作点B关于直线AD的对称点，连结.∵AD是的平分线，∴点在AC上（是以角平分线AD所在直线为对称轴的轴对称图形），又∵AP在对称轴AD上，∴，在中，∵，

5、，，∴.说明：和就是利用角平分线AD构造出的轴对称图形，这种方法对于证明有关线段的不等关系非常方便、有效.典型例题七例07．如图，E、F是的边AB、AC上的点，在BC上求一点M，使的周长最小.分析因为E、F是定点，所以EF是定值.要使△EMF的周长最小，只要最小.解答（1）作点F关于直线BC的对称点.（2）连结交BC于M，点M就是所求.说明这类问题在日常生活中经常可以遇到.典型例题八例08．如图，过C作的平分线AD的垂线，垂足为D，作交AC于E.求证：.分析由已知条件容易得到，从而.要证明，只须证明，联想到AD是角平分线又是垂线，若延长CD交AB的延长线于P，则C、P关于直线AD对称，于是问

6、题可以解决.解答延长CD交AB的延长线于P.在和中，∴（角边角）故.又∵，∴，则∵，∴，又∵，∴，∵（等边对等角），∴.说明全等三角形是证明角或线段相等的一种方法，但不是惟一方法，不要一证线段相等就找全等三角形.等腰三角形的判定定理及其推论，中垂线的性质，都是证线段相等的重要途径.典型例题九例09．如图，AD是中的平分线，且.求证：.分析由于AD是的平分线，所以可以以AD为轴构造轴对称图形，即把沿AD翻折，这样，就可以在中解决问题.证明在AB上截取AE，使，连结DE.∵AD是的平分线，∴，在和中，∴（边角边），∴，∴（全等三角形对应边对应角相等），∵，（内角和定理的推论），∴（大角对大边），

7、∴.说明本题中的的就是利用角平分线构造出来的轴对称图形.本题还有其他构造轴对称图形的方法，比如把沿AD翻折，也可证明结论.选择题1．选择题（1）在下列命题中：①两个全等三角形是轴对称图形②两个关于直线对称的图形是全等形③等边三角形是轴对称图形④线段有三条对称轴正确命题的个数是（）（A）1（B）2（C）3（D）4（2）下列图形是一定轴对称图形的是（）（A）任意三角形（B）有一个角等于的三角形（C）等腰三角形（D