中考数学专题复习练习：圆的内接四边形.doc

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1、例圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数的比是3﹕2﹕7，求四边形各内角度数．解：设∠A、∠B、∠C的度数分别为3x、2x、7x．∵ABCD是圆内接四边形．∴∠A+∠C=180°即3x+7x=180°，∴x=18°，∴∠A=3x=54°，∠B=2x=36°，∠C=7x=126°，又∵∠B+∠D=180°，∴∠D=180°一36°＝144°．说明：①巩固性质；②方程思想的应用．例（2001厦门市，教材P101中17题）如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，AD与三角形ABC的外接圆相交于D．求证：DB=DC．分析：要证DB=DC，只要证∠BCD=∠CBD，充分

2、利用条件和圆周角的定理以及圆内接四边形的性质，即可解决．证明：∵AD平分∠EAC，∴∠EAD=∠DAC，∵∠EAD为圆内接四边形ABCD的外角，∴∠BCD=∠EAD，又∠CBD=∠DAC，∴∠BCD=∠CBD，∴DB=DC．说明：角相等的灵活转换，利用圆内接四边形的性质作桥梁．例如图，△ABC是等边三角形，D是上任一点，求证：DB+DC=DA．分析：要证明一条线段等于两条线段的和，往往可以“截长”和“补短”法，本题两种方法都可以证明．证明：延长DB至点E，使BE=DC，连AE．在△AEB和△ADC中，BE=DC．△ABC是等边三角形．∴AB=AC．∵四边形ABDC是⊙O的内接

3、四边形，∴∠ABE=∠ACD．∴△AEB≌△ADC．∴∠AEB=∠ADC=∠ABC．∵∠ADE=∠ACB，又∵∠ABC=∠ACB＝60°，∴∠AEB=∠ADE=60°．∴△AED是等边三角形，∴AD=DE=DB+BE．∵BE=DC，∴DB+DC=DA．说明：本例利用“截长”和“补短”法证明．培养学生“角相等的灵活转换”能力．在圆中，圆心角、圆周角、圆内接四边形的性质构成了角度相当转换的一个体系，应重视．典型例题四例如图，ABCD是⊙O的内接四边形，，如果，那么（）A．90°B．120°C．135°D．150°解：，由圆内接四边形的对角和是180°，得，故选B.说明：“圆的内接

4、四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.”这个定理很重要，要正确运用.典型例题五例如图，已知：⊙与⊙相交于点A、B，P是⊙上任意一点，PA、PB的延长线交⊙于点C、D，⊙的直径PE的延长线交CD于点M.求证：.分析：要证，即证，连结公共弦AB及EB，即得证.证明：连结AB、EB，在⊙中，.∵ABCD为⊙的内接四边形.∵PE为⊙的直径.即.说明：连接AB就构造出圆内接四边形性质定理的基本图形.典型例题六例如图，AD是外角的平分线，AD与外接⊙O交于点D，N为BC延长线上一点，且交⊙O于点M.求证：（1）；（2）分析：（1）由于DB与DC是同一三角形的两边，要证二者相

5、等就应先证明它们的对角相等，这可由圆周角定理与圆内接四边形的基本性质得到：（2）欲证乘积式，只须证比例式，也即，这只须要证明∽即可.证明（1）连结DC.∵AD平分，∴又ABCD内接于⊙O，∴故（2）∴∽，故.∴说明：本题重在考查圆周角与圆内接四边形的基本性质和利用相似三角形证明比例线段的基本思维方法.本题曾是1996年南昌市中考试题.典型例题七例如图，已知四边形是圆内接四边形，是⊙的直径，且，与的延长线相交于求证：.证明　连结.∵.∴.∴.∵四边形是圆内接四边形，∴∴.∴∽.∴.说明：本题考查圆内接四边形性质的应用，解题关键是辅助线构造，再证∽.易错点是不易想到证而使解题陷入

6、困境或出现错误.典型例题八例如图，已知四边形ABCD内接于半圆O，AB是直径，，分别延长BA，CD交于点E，，交EC的延长线于F，若，求CF的长.解连结OD，BD.∵，的度数.∴∴.内接于⊙O，∴又公用，∴∽.∴.设，则有.∴.∴.为⊙O的直径，∴又∴Rt∽Rt∴即∴说明本题主要考查圆内接四边形的性质，解题关键是作出辅助线.典型例题九例（海南省，2000）如图，AB是⊙O的直径，弦（非直径），P是⊙O上不同于的任一点.（1）当点P在劣弧CD上运动时，与的关系如何？请证明你的结论；（2）当点P在优弧CD上运动时，与的关系如何？请证明你的结论（不要讨论P点与A点重合的情形）分析：

7、利用在同圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理来解决.解∵弦，AB是直径，∴∴（1）（2）（如图中虚线所示）.选择题1．在圆的内接四边形ABCD中，和它的对角的度数的比为1：2，那么为（）A．30°B．60°C．90°C．120°2．四边形ABCD内接于圆，、、、的度数依次可以是（）A．1：2：3：4B．6：7：8：9C．4：1：3：2D．14：3：1：123.四边形内接于圆，、、、的度数比依次可以是（）A．B．C．D．4.如图，四边形内接于⊙，，那么的度数为（）A．B．C．D．5.如图，⊙与⊙交于