中考数学专题复习练习：一元二次方程根与系数的关系.doc

《中考数学专题复习练习：一元二次方程根与系数的关系.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、例1如果是方程的两个根，不解方程，求的值.解：∵是方程的两根，∴.说明题中没有明确，因此的值可能为正，也可能为负.例2不解方程，求作一个一元二次方程，使它的根比原方程各根的2倍大1.解：设方程的两根是.则.设所求的方程为，它的两根分别是和则，∴所求作的方程是.例3a取何值时，方程，（1）两根互为相反数；（2）两根互为倒数.分析满足两根互为相反数的条件是两根和为零，满足两根互为倒数的条件是两极积为1，同时它们又都隐含着有两个不相等的实数根，所以必须满足.解：设方程的两根是，则（1）依题意，有由（1）得.由（2）得，∴时，方程两根互为相反数.（2）依题意，得由

2、（1）得，由（2）得，∴时，方程两根互为倒数.说明方程的两根互为相反数，也可由条件且异号来确定.例4已知关于x的方程的两个实数根的平方和是，求m值.解：设方程的两根是.则.解这个方程，得.当时，∴舍去.当时，∴.说明例1、例2都是由两根的情况求方程中的待定系数，情况类似，但解题方法不同，例1是由确定了m的取值范围，然后求出m的值.而例2中的是一个一元二次不等式，为了避开解这个不等式，我们采取了“先求后验”的方式，即先求出m的值，然后代入判别式去检验.由此看到，同一类型的题目可以有不同的解法，选用什么方法合适，要根据题目的特征来决定.例5已知关于x的一元二次

3、方程的两个不等实根的倒数和为S，求S的范围.分析题中方程的一般形式为，因此隐含了二次项系数不为零和判别式大于零的条件，挖掘这两个条件求出m的取值范围，就能求两根倒数和S的范围.解：整理原方程，得依题意，有解得且.设方程的两根为，则即.例6关于x的方程①与②，若方程①的两个实数根的平方和等于方程②的一个整数根，求m的值.分析利用根与系数的关系，可将方程①的两实根平方和表示为m的代数式.用因式分解法或求根公式可以求出方程②的两根，从而构造关于m的方程，求出m的值.解：设方程①的两个实数根为，则∴把方程②变形为解这个方程，得若为整数根，根据题意，得.解这个方程，

4、得.此时不是整数根，不符合题意，舍去.若为整数根，根据题意，得.解这个方程，得.当时，方程②的是整数，且，方程①有两个实数根，符合题意.当时，方程②的不是整数，不符合题意，舍去.∴.说明这是一道综合性较强的题目，它综合运用了解字母系数的一元二次方程，一元二次方程根据的判别式，根与系数的关系等知识及有关概念，解题时不仅要求熟练掌握这些知识而且需要具备方程思想求待定系数、分类讨论思想和检验所求的解是否符合题意的能力.当求出方程的两根是和后，由于不知道m的取值范围，所以不能盲目地认为是整数根，这两根都有可能是整数，因此应构造两个方程分别求m的值.求出后，还需要有

5、检验的意识，掌握检验的方法，要代入你所假定的整数根去看它是否为整数，注意不是m为整数，也不是方程②的两根或另一根是整数.还应检验方程①是否有两个实数根，符合这两个要求的才是所求的m的值.典型例题五例已知⊙O的面积为，内接于⊙O，abc分别是三角形三个内角A、B、C的对边，且、是方程的两根.（1）判定的形状；（2）求m的值；（3）求的边长.分析：本题具有一定的综合性，在求解中要运用勾股定理、韦达定理及解直角三角形等知识.解（1）由，知是直角三角形，且.（2）由题意，得由（1）知，是直角三角形且，所以，于是，即（3）将代入原方程，得解之，得.或.由圆的面积，求

6、得该圆的半径为1，所以.解Rt，得或.说明：一元二次方程的根与系数的关系即韦达定理，在综合应用中要注意与相关知识的联系.典型例题六例实数k取何值时，一元二次方程，（1）有两个正根；（2）有两个异号根，并且正根的绝对值较大；（3）一根大于3，一根小于3.分析：本题的三个问题分别对根附加了一些限制条件，根据判别式及韦达定理，可列出相应的使k分别满足条件的方程组或不等式组，进而求出k的取值范围.解，∴无论k取任何实数，方程都有两个实数根.设该方程的两根为，则由韦达定理，得（1）若使应满足条件：∴当时，方程有两个正根.（2）若使且应满足条件：∴当时，两根异号，且正

7、根的绝对值较大.（3）若使应满足条件：，即.∴当时，方程一根大于3，另一根小于3.说明：由于本题的一元二次方程的判别式恒大于或等于零，所以，每个条件组里不必考虑或了，否则，每个条件组里都必须考虑的限制条件.典型例题七例（北京市海淀区试题，2002）已知：关于x的方程，①有两个相等的实数根.（1）求证：关于y的方程②必有两个不相等的实数根；（2）若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式的值.解：（1）证明：∵方程①有两个相等的实数根，由方程②，有∴方程②必有两个不相等的实数根.（2）解法一：由将代入方程①得解得∵方程①的一根的相反数是方程②的一个

8、根，由根的定义，得整理，得即解法二：由解法一得是方程②的一个根.设