让习题价值在探索中深化升华.doc

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1、让习题的价值在探索中深化升华前苏联数学教育家奥加涅相在《中学数学教学法》中指出：“必须重视很多习题潜在着进一步扩展其数学功能、发展功能和教育功能的可能性，……。”在数学教学中，如何开发习题的价值？如何引导学生寻求习题的内在变化规律及其之间的联系，准确把握习题的特征，拓展学生的思维视野，探究问题的结构组成，引导学生进行类比、联想、发散、深化和升华，恰当地拓展和延伸，达到举一反三、触类旁通的效果，发挥好习题的潜在功能？笔者根据平时的教学实践，结合新课标，浅谈在数学习题教学中的“四多”做法。1、一题多解，

2、训练学生思维的广阔性一题多解可启发学生广泛联想，拓宽思维的广度，即使是比较简单或熟悉的问题，也不要满足于学生会做，而要求学生从不同角度、用不同的方法去解决，以达到以一当十的效果。例1已知函数，、为相异实数，求证：。此题即证不等式。我们可从此不等式的结构入手，从不同角度探究其多种证法。（1）平方法要证，只要证（2）利用分子有理化左边=即（3）以三角函数知识为背景设，，，，。则故只需证：即（4）以解析几何知识为背景将视为点到原点的距离，设点，当时，则有。（5）以复数知识为背景设（6）以向量为背景设，（7

3、）以曲线方程为背景xy视为曲线方程，即表示的曲线为双曲线上支，如图1，而是双曲线上不同两点。因为，所以是双曲线上任意两点的斜率的绝对值，因为双曲线的渐近线的斜率为，，即2、一题多断，训练学生思维的深刻性图1弗赖登塔尔曾经说过：“数学知识既不是教出来的，也不是学出来的，而是研究出来的。因而学校的数学教学必须就学生通过自身的实践来主动获取知识，让学生在学习中掌握进行再创造的方法，以便进行数学化。”一题多断可促使学生去发现问题、分析问题、解决问题，培养他们的创造和主动探究知识的能力。通过类比、分析、联想，

4、来培养学生的解题能力。hbaABCc如图2所示，为的斜边上的高，设。试求这四个量之间的不等量关系。本题具有极大的开放性，我们可以得出多种不同的结果。下面先列出几个常用的已知结论：（勾股定理）（射影定理）（等积式）图2让我们展开想象的翅膀，从不同的角度思考，至少可以得到以下结论：（1）；（2）以上（1）（2）是利用初中平面几何知识中“三角形的大角对大边”、“三角形两边之和大于第三边”得出的简单结论。（3）因为都是正数，利用，由此即可得。（4）利用即得。（5）利用及即得。本结论也可用几何法证得。（6）利

5、用（7）由可得。（8）由可得。（9）由，两边分别除和即得。（10）由可得。（11）由可得。这里我们还可以将结论（6）改进为3、一题多变，训练学生思维的灵活性荷兰著名教育家弗赖登塔尔认为：“学习数学的唯一正确方法是实行`再创造`，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来，教师的任务是引导和帮助学生去进行这种`再创造`的工作，而不是把现成的知识灌输给学生。”一题多变可引导学生积极思考，挖掘思维的深度。在讲解在上单调性时，我们对这题的条件结论做了一系列的变化，形成了一套题组，步步深入、层层递进，从

6、而培养了学生的自主获取知识的能力及灵活应变的能力。例3证明：在上是减函数。（人教版高中数学第一册（上））变式一：证明函数在上具有单调性。如此变式，意在培养学生对字母参数的分类讨论思维。变式二：判断函数在上的单调性。如此变式，意在培养学生的辩证思维，字母对的单调性有无影响？为什么？变式三：讨论函数的单调性。如此变式，意在培养学生综合思维能力，能否合理巧妙地处理好字母参数间的关系及它们对函数的单调性是否有影响。变式四：（1）画出函数的图象：（1）为何值时，函数在上是增函数。（2）求函数且的值域。如此变式

7、，意在培养学生的应用能力，引导学生应用所学知识解决其他问题的创新思维。正如俄国最伟大的作家列夫托尔斯泰所言：“知识，只有当它靠积极的思维得来，而不是凭记忆得来的时候，才是真正的知识。”4、一题多推，培养学生主动学习、主动探究知识、灵活应用知识的能力前苏联教育家瓦阿苏霍姆林斯基在《给教师的信》中这样说道：教育者应当深刻了解正在成长的人的心灵。当我听到或者读到对人的个别对待的态度这些词的时候，它们在我的意识里总是跟另一个概念——思考——联系在一起的。教育——这首先是活生生的、寻根究底的、探索性的思考。没

8、有思考就没有发现（哪怕是很小的、咋看起来微不足道的发现），而没有发现就谈不上教育工作的创造性。在讲解习题时，在理解教材中所反映的一般过程、方法或思路后，鼓励和诱导学生多方探求，多角度认识和把握新知，通过对题中的条件和结论的加强与减弱拓展推广得到一些新的结论。通过多种角度推广引申的体验，加强学生举一反三、触类旁通和应变能力，对培养学生思维的灵活性和广阔性，培养学生的创新意识极有价值。例3平面几何中一个定值问题的推广。命题1正三角形内任意一点到其三边的距离之和为一定值。这