常微分方程习题(8)培训讲学.doc

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1、常微分方程习题(8)精品文档一、选择题1．阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个．（A）（B）-1（C）+1（D）+22．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（）条件．（A）充分（B）必要（C）充分必要（D）必要非充分3.方程过点共有（）个解．　（A）一（B）无数（C）两（D）三4．方程（）奇解．（A）有一个（B）有两个（C）无（D）有无数个5．方程的奇解是（）．（A）（B）（C）（D）二、计算题1.x=+y2.tgydx-ctydy=03.4.5.收集于网络，如有侵权请联系管

2、理员删除精品文档三、求下列方程的通解或通积分1.2.3.四．证明1.设，是方程的解，且满足==0，，这里在上连续，．试证明：存在常数C使得=C．2．在方程中，已知，在上连续．求证：该方程的任一非零解在平面上不能与x轴相切．试卷答案一、选择题1.A2.B3.B4.C5.D收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档二、计算题1．解：将方程改写为=+（*）令u=,得到=x+u,则(*)变为x=,变量分离并两边积分得arcsinu=ln+lnC,故方程的解为arcsin=lnCx。2．解：变量分离ctg

3、xdy=tgydx,两边积分得ln(siny)=-ln+C或sinycosx=C(*)另外，由tgy=0或ctgx=0得y=k(k=0、1…)，x=t+(t=0、1…)也是方程的解。tgy=0或ctgx=0的解是(*)当C=0时的特殊情况，故原方程的解为sinycosx=C。3.方程化为令，则，代入上式，得分量变量，积分，通解为原方程通解为4．解齐次方程的通解为收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档令非齐次方程的特解为代入原方程，确定出原方程的通解为+5．解因为，所以原方程是全微分方程取，原

4、方程的通积分为即三、求下列方程的通解或通积分1．解当时，分离变量得等式两端积分得方程的通积分为2．解令，则，代入原方程，得收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档，当时，分离变量，再积分，得，即通积分为：3．解齐次方程的通解为令非齐次方程的特解为代入原方程，确定出原方程的通解为+四．证明1.证明设，是方程的两个解，则它们在上有定义，其朗斯基行列式为由已知条件，得收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档故这两个解是线性相关的．由线性相关定义，存在不全为零的常数，使得，由于，可知．否则，若，则

5、有，而，则，这与，线性相关矛盾．故2．证明由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存在区间都是．显然，该方程有零解．假设该方程的任一非零解在x轴上某点处与x轴相切，即有=0，那么由解的惟一性及该方程有零解可知，这是因为零解也满足初值条件=0，于是由解的惟一性，有．这与是非零解矛盾．收集于网络，如有侵权请联系管理员删除