对流扩散问题的有限体积法课件.ppt

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1、对流-扩散问题的有限体积法第九讲流体仿真与应用对流—扩散问题的有限体积法◆通用形式流动与传热问题守恒形式的输运方程瞬变项对流项源项扩散项◆稳态的对流-扩散问题的守恒方程一维稳态对流—扩散问题的有限体积法◆一维无源项的稳态对流-扩散◆流动过程同时必须满足连续性方程一维稳态对流—扩散问题的有限体积法◆一维稳态问题有限体积法连续性方程当时，对扩散项采用中心差分，则对流-扩散积分方程一维稳态对流—扩散问题的有限体积法◆中心差分格式均匀网格一维稳态对流—扩散问题的有限体积法◆中心差分格式通用的形式中心差分格式在扩散问题中，精度较高，收敛性也较好。但当有对流时，对控制容积界面处

2、的输运量如果采用相邻两节点的平均计算值，在一定条件下将出现不合理的结果。一维稳态对流—扩散问题的有限体积法◆中心差分格式（例子）一维稳态对流—扩散问题的有限体积法◆离散格式的性质通常，离散方程的误差都是因离散而引起，当网格步长无限小时，各种误差都会消失。然而，在实际计算中，考虑到经济性（计算时间和所占的内存）都只能用有限个控制容积进行离散。因此，格式需要满足一定的物理性质，计算结果才能令人满意。在数学上，一个离散格式必须要引起很小的误差（包括离散误差和舍入误差）才能收敛于精确解，即要求离散格式必须要稳定或网格必须满足稳定性条件。在物理上，离散格式所计算出的解必须要有

3、物理意义，对于得到物理上不真实的解的离散方程，其数学上精度再高也没有价值。主要的物理性质包括：守恒性、有界性和迁移性。一维稳态对流—扩散问题的有限体积法◆离散格式的性质——守恒性所谓守恒，就是说通过一个控制容积的界面离开该控制容积、进入相邻的控制容积的某通量相等。为保证在整个求解域上的每个控制容积上的某通量守恒，则通过相同的界面该通量的表达式应有相同的形式。一维稳态对流—扩散问题的有限体积法◆离散格式的性质——守恒性用有限体积法建立离散方程时，在下列条件下满足守恒要求①微分方程具有守恒形式；②在同一界面上各物理量及一阶导数连续。一维稳态对流—扩散问题的有限体积法◆离

4、散格式的性质——守恒性满足守恒性的离散方程不仅使计算结果与原问题在物理上保持一致，而且还可以使对任意体积（由许多个控制容积构成的计算区域）的计算结果具有对计算区域取单个控制容积上的格式所估计的误差。一维稳态对流—扩散问题的有限体积法◆离散格式的性质——有界性迭代法收敛的充分条件在所有节点至少有一个节点为节点的P净系数，如无源项时在内部节点它实际就是，有源项时在内部节点和边界点它就是，为P点所有相邻节点的系数的和。对内部节点来说，无源项时该收敛条件取“=”，有源项时该收敛条件取“<”，而对边界节点必须要取“<”。一维稳态对流—扩散问题的有限体积法◆离散格式的性质——有

5、界性若离散格式产生的各节点系数能够满足上面的收敛条件，则离散方程组的节点系数矩阵为对角占优的，从而保证能收敛。为保证离散方程组的节点系数矩阵对角占优，对源项的线性化处理应保证使取负值（取负值，则，从而保证了在边界节点满足收敛条件取“<”。）对角占优是满足有界性的特征。对于有界性的必要条件是：离散方程的各系数应个有相同的符号，一般为正。如果离散格式不满足有界性条件，则其解可能不会收敛；若收敛，则可能会振荡。一维稳态对流—扩散问题的有限体积法◆离散格式的性质——迁移性在对流-扩散问题中，引入一个控制容积的Peclet数，它表征对流与扩散的相对大小一维稳态对流—扩散问题的

6、有限体积法◆离散格式的性质——迁移性③当Pe为有限大小时，对流和扩散同时影响一个节点的上、下游相邻节点。随着Pe的增加，下游受的影响逐渐增大，而上游受的影响逐渐变小。①，即纯扩散，无对流。②，即纯对流，无扩散。一维稳态对流—扩散问题的有限体积法◆中心差分格式的性质由必要条件知：假设，从而满足有界性的必要条件。如果，则为负数，不符合有界性的必要条件。□守恒性□有界性对流-扩散问题的中心差分格式满足守恒性。离散方程内部节点：由连续性方程，因此，在所有内部节点满足收敛条件。一维稳态对流—扩散问题的有限体积法◆中心差分格式的性质中心差分格式的截断误差为2阶，精度较高，但有条

7、件地满足有界性，当时稳定。对给定的流体和，取决于流速u和网格步长。时，则要求u和很小。因此，它有一定的局限性。□迁移性◆中心差分格式的特点由于该格式在计算P点对流和扩散通量时对各个方向的相邻节点的影响都考虑到了，而没有考虑到对流与扩散的相对大小。因此，在高Pe时不满足迁移性要求。中心差分格式的缺点是，它不能识别流动的方向。一维稳态对流—扩散问题的有限体积法◆迎风格式迎风格式（UpwindDifferencingScheme）在确定控制容积界面上的值时就考虑了流动的方向性，其思想为：在控制容积界面上对流项的取上游节点处的值，称之为第二类迎风格式。中心差分格式的缺点