一维变系数对流扩散方程第三边值问题的紧有限体积方法

《一维变系数对流扩散方程第三边值问题的紧有限体积方法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第31卷第6期工程数学学报Vo1．31No．62014年12月CHINESEJOURNALOFENGINEERINGMATHEMATICSDec．2014doi：10．3969／j．issn．1005—3085．2014．06．011文章编号：1005—3085(2014)06—0889—14一维变系数对流扩散方程第三边值问题的紧有限体积方法木陈宏霞，王同科(天津师范大学数学科学学院，天津3003871摘要：对流扩散方程在工程计算中具有广泛应用．本文研究一维变系数对流扩散方程第三边值问题的高精度有限体积方法．通过在

2、控制体积上积分导出了方程的积分守恒形式，然后对积分守恒形式利用泰勒公式和二次埃尔米特插值进行离散得到了紧有限体积格式．该格式导出的线性代数方程组具有三对角性质，因此可使用追赶法求解．进而，通过分析截断误差，采用能量方法证明了格式按照几种标准的离散范数四阶收敛．最后，数值算例验证了格式的正确性和有效性，这与理论分析结果是一致的．关键词：对流扩散方程第三边值问题；紧有限体积方法；误差估计；四阶精度分类号：AMS(2000)65N08；65N12中图分类号：O241．82文献标识码：A1引言对流扩散方程出现在应用数学的许

3、多分支，其数值算法研究一直非常活跃[1-9]．对流扩散方程的数值求解方法有多种，其中包括有限差分方法[卜]，有限体积方法和一些其他方法【819】．文献[2]利用Richardson外推方法和插值技巧将定常型对流扩散方程的紧差分格式离散精度从4阶提高到了6阶；文献f51对一类常系数对流扩散方程进行转化，给出了一种可以达到任意阶精度的三点紧致差分格式；文献f61将对流项采用四五阶组合迎风格式离散，得到了一种求解非定常对流扩散方程的高精度组合紧致有限差分格式；文献[8]给出一种新的移动有限点无网格方法，具有2阶收敛率；文

4、献f91提出了一种松弛方法；文献[101给出了一类反应扩散方程的二阶有限体积格式．最近，文献f11，121使用有限体积方法离散具有第三边界条件的扩散方程，得到一类具有三对角性质的四阶有限体积格式，称为紧有限体积格式．借鉴文献f12]中对二阶导数项的离散思想，本文对于一维变系数对流扩散方程第三边值问题的扩散项使用同样的方法离散，构造了一类具有四阶精度的有限体积格式．该格式形成的线性代数方程组具有三对角性质，可用追赶法求解．在收敛性分析部分，文献【12]没有达到最优阶，本文使用新的方法证明了格式具有4阶精度，做到了理论

5、与计算的统一．收稿日期：2013—05—15．作者简介：陈宏霞(1988／f12~生)，女，硕士．研究方向：偏微分方程数值解基金项目：国家自然科学基金(11071123)．890工程数学学报第31卷本文第2节针对一维变系数对流扩散方程第三边值问题给出了紧有限体积格式的构造方法，第3节给出了该格式的截断误差分析，利用能量方法证明了格式按照离散。范数，H半范数和最大范数达到了4阶精度．最后，通过具体算例验证了格式的高精度，并说明了格式具有较大的实用性．2格式构造考虑区间I=fa，6J上的一维定常型对流扩散方程第三边值问

6、题一rf上+p()u+q(X)U=f()，X∈(r上，b)，(1)一(口)+O~lU(a)=91，f“(b)+~2u(b)=g2，(2)其中p()，g()，f(x)适当光滑，，2为常数，且满足限制条件：(a)g()>0，且g()一ip()>0；(b)一>0，2+Q：>0．首先，对区间=a76]作剖分厶，节点为0=X0

7、-1／2~Xn]，则所有的，0i扎，构成厶的对偶剖分．通常称譬为节点对应的控制体积．在控制体积(=0，I，⋯，钆)上对方程(1)进行积分，并利用分部积分公式及边界条件(2)，得(1)的积分守恒形式为+(q)udx=)d，u(z一／2)一r“(“一1／z)+p(z纠一／2)(“1／)一p(xi-~／2)(i-~／2)+(q)udx~-)l，2，⋯,n-l,u(一1／2)+[Ce2+p()]()一p(x～／2)(一／。)七jI一pudx。．(5)为方便起见，引入如下记号()：／rxi_~／2tt(i)()(～一1)¨d

8、t，()：Xi㈤()(甄一矿一d，山一J山i一1／2第6期陈宏霞，王同科：一维变系数对流扩散方程第三边值问题的紧有限体积方法891并记一1／2=p(l／2)，一1／2=pxi一1／2)等．由¨(zt)，u(xi一1)在Xi一1／2处带积分余项的Taylor展开式得让(xi-1／~)=一h2，(Xi-1／2)+R(6)其中R=一1(q(4)+(4))．，由方程