扩散问题的有限体积法.pdf

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1、流体力学数值方法第六讲扩散问题的有限体积法扩散问题的有限体积法◆通用形式流动与传热问题守恒形式的输运方程()→∂ρφ+div(ρUφ)=div(Γgradφ)+S∂tφ瞬变项对流项扩散项源项▼在应用有限体积法（控制容积法）进行数值求解时，通常首先将通用公式在一个容积上进行积分，将微分方程转化为积分方程，然后采用不同的近似方式在控制容积的边界上对积分项进行处理，从而得到不同的差分格式。扩散问题的有限体积法◆有限体积法求解过程()→∂ρφdV+div(ρUφ)dV=div(Γgradφ)dV+SdV∫∂t∫∫∫φCVCVCVCVrrr高斯

2、定理∫div(a)dV=∫n•adACVA→r→∫div(ρUφ)dV=∫n•(ρφU)dACVAr∫div(Γgradφ)dV=∫n•(Γgradφ)dACVA∂r→r∫()ρφdV+∫n•(ρφU)dA=∫n•(Γgradφ)dA+∫SdV∂tφCVAACV扩散问题的有限体积法◆有限体积法输运方程的物理意义∂r→r∫()ρφdV+∫n•(ρφU)dA=∫n•(Γgradφ)dA+∫SdV∂tφCVAACV总的变外法线方内法线方源项引化率向的对流向的扩散起的的通量通量增加率物理意义物理意义因对流而扩散而引引起的净起的净增减少量加量扩

3、散问题的有限体积法◆稳态输运方程r→rn•(ρφU)dA=n•(Γgradφ)dA+SdV∫∫∫φAACV◆非稳态输运方程∂r→r∫∫()ρφdVdt+∫∫n•(ρφU)dAdt=∫∫n•(Γgradφ)dAdt+∫∫SdVdt∂tφΔtCVΔtAΔtAΔtCV扩散问题的有限体积法◆稳态纯扩散div(Γgradφ)+S=0φdiv(Γgradφ)dV+SdV=0∫∫φCVCVrn•(Γgradφ)dA+SdV=0∫∫φACV一维稳态扩散问题的有限体积法◆一维稳态纯扩散方程d⎛dφ⎞⎜Γ⎟+S=0dx⎝dx⎠◆节点划分（P点）有限体积法

4、的第一步是把求解域划为离散的控制容积。一维稳态扩散问题的有限体积法▼控制容积的取法方法A：一种是把控制容积的界面放在相邻2个节点中间（先划分节点）方法B：一种是把控制容积的中心节点放在控制容积的几何中心（先划分控制容积）一维稳态扩散问题的有限体积法◆方程的离散d⎛dφ⎞⎛dφ⎞⎛dφ⎞∫⎜Γ⎟dV+∫SdV=⎜ΓA⎟−⎜ΓA⎟+SΔV=0CVdx⎝dx⎠CV⎝dx⎠e⎝dx⎠w⎛dφ⎞φ−φ⎜ΓA⎟=ΓAEP⎛dφ⎞φP−φWee⎜ΓA⎟=ΓwAw⎝dx⎠eδxPE⎝dx⎠wδxWPΓ=ΓW+ΓPΓE+ΓPwΓe=中心差分格式22SΔ

5、V=S+SφuPP一维稳态扩散问题的有限体积法◆方程的离散φ−φφ−φEPPWΓA−ΓA+S+Sφ=0eewwuPPδxδxPEWP⎛ΓAΓA⎞⎛ΓA⎞⎛ΓA⎞⎜eewwS⎟⎜ee⎟⎜ww⎟+S+−φ=φ+φ⎜xxP⎟P⎜x⎟E⎜x⎟Wuδδδδ⎝PEWP⎠⎝PE⎠⎝WP⎠aφ=aφ+aφ+SPPEEWWua=a+a−SPEWPΓAΓAwweea=a=WEδxδxWPPE一维稳态扩散问题的有限体积法◆方程离散的步骤首先将微分方程在控制容积上进行积分，利用高斯定理把体积分转化为控制容积边界界面上的面积分，然后通过对界面上的参数的近似而得

6、到最终的离散方程。对界面上的有关参数的近似方法是确定最终离散格式的核心◆方程的求解（举例）在每个节点都建立上述离散（对于内部节点，并不需要在每个节点上重复上述过程，内部节点的离散方程适用于所有内部节点，而对边界节点则须重新按上述过程进行推导，因为不同的边界节点界面上有关参数的近似处理方法不同），得到一个线性方程组。求解该方程组即可得每个节点的φ值。二维稳态扩散问题的有限体积法◆二维稳态纯扩散方程∂⎛∂φ⎞∂⎛∂φ⎞⎜Γ⎟+⎜⎜Γ⎟⎟+S=0∂x⎝∂x⎠∂y⎝∂y⎠◆节点划分有限体积法的第一步是把求解域划为离散的控制容积。二维稳态扩散问

7、题的有限体积法◆控制方程在控制容积上积分∂⎛∂φ⎞∂⎛∂φ⎞⎜Γ⎟+⎜⎜Γ⎟⎟+S=0∂x⎝∂x⎠∂y⎝∂y⎠◆高斯定理把体积分转换为面积分得⎛∂φ⎞⎛∂φ⎞⎛∂φ⎞⎛∂φ⎞⎜ΓA⎟−⎜ΓA⎟+⎜⎜ΓA⎟⎟−⎜⎜ΓA⎟⎟+SΔV=0⎝∂x⎠e⎝∂x⎠w⎝∂y⎠n⎝∂y⎠sx方向e，w两个界面⎛∂φ⎞φE−φP⎜ΓA⎟=ΓA⎛∂φ⎞φP−φW∂xeex⎜ΓA⎟=ΓwAw⎝⎠eδPE⎝∂x⎠δxwWPy方向n，s两个界面⎛∂φ⎞φ−φ⎛∂φ⎞φ−φPS⎜ΓA⎟=ΓANP⎜ΓA⎟=ΓA⎜⎟nn⎜y⎟ssyyy∂δ⎝∂⎠nδNP⎝⎠sPS二维

8、稳态扩散问题的有限体积法φ−φφ−φφ−φφ−φEPPWNPPSΓA−ΓA+ΓA−ΓA+SΔV=0eewwnnssδxδxδyδyPEWPNPPSSΔV=S+SφuPP⎛ΓAΓAΓAΓA⎞⎜eewwssnn⎟+++−Sφ