各向异性扩散问题的一个单元中心型有限体积格式

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1、第32卷第3期工程数学学报Vo1．32No．32015年06月CHINESEJOURNALOFENGINEERINGMATHEMATICSJune2015doi：10．3969~．issn．1005—3085．2015．03．005文章编号：1005—3085(2015)03—0359．10各向异性扩散问题的一个单元中心型有限体积格式木骆龙山1，高志明，邬吉明(1一中国工程物理研究院研究生部，北京100088；2．北京应用物理与计算数学研究所，北京100088)摘要：在辐射流体力学的数值模拟中，扩散算子的高效高精度

2、离散是一个十分重要的问题．本文研究各向异性扩散方程在任意多边形网格上的数值求解问题，我们利用调和平均点和线性精确方法，构造了一个单元中心型有限体积格式．该格式只含有单元中心未知量，满足局部守恒条件，有紧凑的计算模板，在结构四边形网格上退化为一个九点格式．由于调和平均点插值算法是一个具有两点模板的二阶保正算法，因此，采用单元边上的调和平均点为插值节点，使得离散格式十分简洁，容易实施．此外，我们在格式构造中仅采用了二、三维网格的共有拓扑关系，使格式容易向三维问题推广，大部分程序代码可实现二、三维公用．我们采用典型的大变

3、形扭曲网格及典型的扩散算例f包括连续和间断的扩散张量1对所提出的新格式进行了测试，数值算例表明，新格式在许多扭曲的多边形网格上具有二阶精度．关键词：扩散方程；任意多边形网格；单元中心型有限体积格式；线性精确；调和平均点分类号：AMS(2000)65N06中图分类号：O241．82文献标识码：A1引言考虑如下定常扩散方程的定解问题一div(AVu)=f，在内，(1)¨=g，在Q上，(2)其中QC为平面上有界单连通多边形区域，A()：Qx2是任意的对称正定扩散张量，f∈L(Q)为源项，9是在aQ上给定的适当光滑的函数．

4、该问题在众多领域中有着广泛应用，如油藏模拟、半导体模型以及磁约束聚变等，其数值求解面临许多困难．如在油藏模拟中，A可能是强各向异性的．又如在多介质Lagrange辐射(磁)流体力学计算中，A具有强间断性，而且扩散计算须与流体计算相耦合，网格随流体流动会发生大变形或滑移．在任意多边形网格上，对含有任意各向异性张量的扩散方程构造简洁实用的高精度数值格式，是一个十分有意义的课题．在上述背景下求解方程(1)，有限体积方法是常见的选项之一，因为它具有局部守恒、计算量小、易于编程等优点．目前，国内外已有大量的相关研究工作，所获

5、得的格收稿日期：2013—12—03．作者简介：骆龙山(1989年7月生)，男，硕士．研究方向：偏微分方程数值解法基金项目：国家自然科学基金f91330107；11071024；11271053)．360工程数学学报第32卷式可分为混合型、杂交型和单元中心型，其中单元中心型格式在每个单元上只有一个未知量，计算开销上有优势，是近年来国内外相关领域研究中的热门问题．一个好的单元中心格式，应当具有局部模板，简洁、鲁棒、容易实现，满足局部守恒性质，具有二阶精度，导出对称正定的代数方程组，保持物理界限，适用于任意的多边形网格

6、和任意的扩散张量，有坚实的理论基础等等．为实现这些目标，人们提出了许多格式，如多点流格式[川、梯度逼近格式[2】、九点格式[3]、菱形格式f、线性精确格式[5]、非线性两点流格式[6】等等．然而，目前还没有一个格式能够同时满足前面提到的全部要求，人们通常只能在各种好的数值性质之间进行取舍，以满足特定的模拟需求．最近，文献f7]针对任意的多边形网格和任意的扩散张量，提出了一个新的单元中心型有限体积格式，同时给出了稳定性分析和误差估计．该格式简单、容易实施，具有二阶精度，易于向三维问题推广，但其模板较大，在结构四边形网

7、格上可能是一个十三点格式．本文在保持该格式各种优良数值性质的基础上，构造了一个新的格式，它在结构四边形网格上具有九点模板．数值算例表明，新格式与文献f71中的格式精度大体相当．本文第2节给出格式的构造；第3节通过数值算例说明格式的精度和实用性；最后，第4节给出本文的结论．2任意多边形网格上的有限体积格式假设区域Q已被剖分为若干个互相不重叠的多边形单元，并引入如下记号：1)M={)是由网格单元组成的集合．用XK，OK，IKI和分别表示单元的中心、边界、面积和直径，网格尺寸定义为h一{K)；2)={)是所有网格边组成的

8、集合，是直线段，长度记为．记“=NQ．。=NQ对任意单元K∈M，存在Kc，使得OK=U．对∈K，在不引起混淆的情一况下，它在单元中的局部编号也用表示．用Tt,K．表示单元中第口条边的单位外法向量，tK．表示盯上的单位切向量，方向规定为单元边界OK的逆时针方向，dK，表示单元中心K到边的垂直距离．此外，当表示内部边时，总是约定其两侧的单元分别为和．构造有限体积