常微分方程求解 與 動畫架構.ppt

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1、國立臺灣海洋大學97年度教學卓越計畫大學生暑期學習計畫-執行成果報告姓名：施佑勳指導學長：高聖凱與李家瑋指導教授：陳正宗終身特聘教授時間：2008/11/25空間曲線曲率之研究與動畫模擬一、前言日常生活中公路的造線。在圓曲線路段內車輛有一定的離心力，這路線方向的調整、路面傾斜度的漸變以及路面加寬通常會由曲率來決定。數學應用上，曲率主要是用來描述曲線上某處，曲線彎曲變化的程度，通常使用微積分技巧求曲率。當曲線軌跡推至三維後，描述線段軌跡的因素則多了一項扭率。在材料力學梁翹曲中，計算正向應力時的推導，亦需使用到曲率觀念。本計畫延伸平面曲線的概念，探討空間曲線。利用向量微積分的觀點

2、與曲線弧長參數表示法做切入點。透過Mathematica軟體建構軌跡動畫。希望本計畫對日後學生學習、老師教學與工程運用都會有相當的幫助。二、研究議題1.空間曲線之時間與弧長參數表示法的建立及其關係。2.討論曲線之曲率與扭率在空間曲線之幾何、力學與物理意義。3.將Frenetformula轉成狀態方程配合初位置與初架構(frame)求解。4.提出一套空間曲線三維建構模型。5.探討三種向量，切向量、法向量與Binormal向量，所對應的幾何意義及其工程應用。6.符號運算軟體Mathematica使用能力建立。7.矩陣函數　　的求解技巧與應用。三、研究方法與過程給一空間曲線，其時間參

3、數表示式為　　　　　　，藉由弧長關係將時間參數表示法轉成至空間參數表示法，，　為位置向量單位切向量為微小弧長單位法向量　因與　正交，故可令單位雙法向量(binormalvector)，則與　和　向量正交。可得其圖型如下經整理運算可得狀態空間表示式如下：其中Ａ為Frenetformula圖切向量、法向量與雙法向量四、研究結果因軌跡方程會滿足一狀態方程，而其解的形式為　，所以以下將介紹三種方式解　。狀態方程Frenetformula矩陣函數技巧與應用1.傳統方法2.Jordan正則式(CanonicalForm)3.矩陣餘式定理傳統方法假設有一矩陣Ａ，其特徵向量組成的矩陣為Ｖ對角化

4、而Jordan正則式(CanonicalForm)假設有一　　矩陣A，其特徵值有二重根，可利用JordanCanonicalForm解決重根問題，矩陣特徵值有二重根時JordanForm表示為以下為　四重根矩陣餘式定理給一矩陣Ａ，其特徵方程式為　　　　特徵值為由Cayley-Hamilton定理知　　　　。透過餘式定理可知將　　　分別代入，可求得　　　。再由實數和矩陣可互換性質，將實數換為矩陣可寫成代入矩陣Ａ得　。五、曲線動畫與Frenetformula參數研究G.E.初位置　初向量一般軌跡方程為聯立常微分方程，因此可用　求解Frenetformula切向量。　　法向量。　　雙

5、法向量。曲線建立給為初始向量，再由初位置與　　可建構出曲線Frenetformula參數研究a.初狀態b.初位置改變c.改變曲率半徑d.改變扭率a.動畫與黑線為空間曲線，紅線　，綠線　，藍線　。b.改變初位置:和黑線為第a.藍線為b.c.改變曲率半徑:黑線為　　　　其餘依順序為d.改變扭率:黑線為　　　　其餘依順序為六、空間曲線之時間與弧長參數表示法曲線時間與弧長參數表示為半徑，　為角度，　為變數。如圖所示圖　空間曲線之半徑　與角度空間曲線弧長參數表示法半徑角度研究a.改變半徑(固定角度)b.角度改變(固定半徑)a.改變半徑固定(角度)紅線半徑為　　綠線半徑為　　藍線半徑為b.

6、改變角度固定(半徑)紅線角度為　　　綠線角度為　　　藍線角度為END投影片到此結束，謝謝觀賞Thanksforyourattention!