线性代数方程组的迭代法课件.ppt

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1、第八章线性方程组的迭代解法思路将改写为等价形式，建立迭代　。从初值出发，得到序列。研究内容：如何建立迭代格式？收敛速度？向量序列的收敛条件？误差估计？迭代格式的构造把矩阵A分裂为则将上式写为迭代过程这种迭代过程称为逐次逼近法，B称为迭代矩阵。收敛性定义：若称逐次逼近法收敛，否则，称逐次逼近法不收敛或发散。给定初值就得到向量序列问题：定理1任意给定初始向量x0，如果由逐次逼近法产生的向量序列收敛于向量x*，那么，x*是方程组x=Bx+g的解。证明：是否为方程组Ax=b的解？迭代法的收敛条件补充定理当k时，

2、Bk0(B)<1定理2设线性方程组x=Bx+g有惟一解，那么逐次逼近法对任意初始向量X０收敛的充分必要条件是迭代矩阵B的谱半径(B)<1。证明：因此，注：要检验一个矩阵的谱半径小于1比较困难，所以我们希望用别的办法判断收敛性。定理3若逐次逼近法的迭代矩阵满足‖B‖<1，那么逐次逼近法收敛。Remark:因为矩阵范数都可以直接用矩阵的元素计算，因此,用定理3.5.3，容易判别逐次逼近法的收敛性。定理4（充分条件）若存在一个矩阵范数使得

3、

4、B

5、

6、<1,则迭代收敛，且有下列误差估计：②①证明：②迭代法的误差估计

7、误差表达式及收敛速度。停机准则。①（4.1）1．雅克比（Jacobi）迭代法设有n阶方程组几种常用的迭代格式若系数矩阵非奇异，且(i=1,2,…,n)，将方程组（4.1）改写成然后写成迭代格式（4.2）（4.2）式也可以简单地写为（4.3）写成矩阵形式：A=LUDBJacobi迭代阵(4.4)Algorithm:JacobiIterativeMethodSolve.Givenaninitialapproximation.Input:thenumberofequationsandunknownsn;thematrix

8、entriesa[][];theentriesb[];theinitialapproximationX0[];toleranceTOL;maximumnumberofiterationsMmax.Output:approximatesolutionX[]oramessageoffailure.Step1Setk=1;Step2While(kMmax)dosteps3-6Step3Fori=1,…,nSet;/*computexk*/Step4IfthenOutput(X[]);STOP;/*successful*

9、/Step5Fori=1,…,nSetX0[]=X[];/*updateX0*/Step6Setk++;Step7Output(Maximumnumberofiterationsexceeded);STOP./*unsuccessful*/Whatifaii=0?迭代过程中，A的元素不改变，故可以事先调整好A使得aii0，否则A不可逆。必须等X(k)完全计算好了才能计算X(k+1)，因此需要两组向量存储。Abitwasteful,isn’tit?…………只存一组向量即可。写成矩阵形式：BGauss-Seidel迭

10、代阵2．高斯――赛得尔(Gauss-Seidel)迭代法(4.5)(4.6)BG-SGauss-Seidel迭代阵其迭代格式的矩阵形式为事实上，这相当于对系数矩阵A作的另一个分裂：注：这二种方法都存在收敛性问题。在讨论收敛性之前我们先来讲一些预备知识和有关的定理有关基本概念一、严格对角占优矩阵与对角占优矩阵定义1设A是n阶矩阵.若满足不等式且至少有一个i，使严格不等号成立，则称A为对角占优矩阵.若对所有的i=1，2，…，n，都有严格不等号成立，称A为严格对角占优矩阵。二、可约矩阵与不可约矩阵定义2设A是n阶矩阵.

11、如果存在排列阵P,使其中A11和A22分别是k阶和n-k阶方阵(n≥2，k

12、对角占优矩阵.记经过一步Gauss消去后的矩阵为那么，A(2)n-1仍是严格对角占优的.定理3.5.9设A是不可约对角占优矩阵，那么A是非奇异矩阵.定理3.5.10_1n阶矩阵A是按行严格对角占优矩阵的充分必要条件是Jacobi迭代法的迭代矩阵满足‖BJ‖∞<1.定理3.5.10_2n阶矩阵A是按列严格对角占优矩阵的充分必要条件是Jacobi迭代法的迭代矩阵