第2章 解线性代数方程组的迭代法

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1、第二章解线性代数方程组的迭代法2.1引言在许多实际问题中，常常需要求解这样的线性代数方程组，它的系数矩阵数很高，但非零元素很少，人们称其为大型稀疏线性代数方程组，对于这类方程组，如果它又不具有带状性，那么，再用直接法求解就不太有效，因为用直接法进行消元或矩阵的三角分解时，没有考虑到系数矩阵的稀疏性，破坏了系数矩阵的形状，导致了计算量的增加和存储单元的浪费，于是，人们常用迭代法求解大型稀疏线性代数方程组。迭代法只需要存储系数矩阵的非零元素，这样，占用内存在单元较少，能解高阶线性代数方程组。由于迭代法是通过逐次迭代来逼近方程

2、组的解，因此，收敛性和收敛速度是构造迭代法时要注意的问题。那么，是否可以构造一种适用于一般情况的迭代法呢？回答是否定的，这是因为不同的系数矩阵具有不同的性态，一般地，每一种迭代法都具有一定的适用范围，在本章的学习中将会看到，有时，某种方法对一类方程组迭代收敛，而对另一类方程组进行迭代时就会发散。因此，我们应该学会针对具有不同性质的线性代数方程组，构造合适的迭代方法。本章主要介绍一些基本的迭代法，并在一定的范围内讨论其中几种方法的收敛法。2.2基本迭代法考虑线性方程组（2.1）采用矩阵和向量记号，我们可以把（2.1）式写成

3、,（2.2）其中，为非奇异矩阵，设。下面我们介绍雅可比（Jacobi）迭代，高斯-塞德尔（Gauss-Seidel）迭代与SOR迭代以及SSOR迭代的基本思想和算法。为了方便地给出矩阵表示式，我们引进下列矩阵分裂：（2.3）其中（1）雅可比迭代的基本思想从式（2.1）的第i个方程中解出：我们把迭代前面的值代入上式右边，由计算得到等式左边的值作为一次迭代的新值，然后再把这个新值代入右边，再从左边得到一个新值，如此反复，就得到了雅可比迭代公式。算法2.1雅可比迭代法。选定初值，对计算（2.4）由式（2.4）及采用矩阵A的分裂

4、记号式（2.3），可以得到,于是得到雅可比迭代的矩阵表示形式：.（2.5）（2）高斯-塞德尔迭代的基本思想在用雅可比迭代式（2.4）计算第i个新分量时，前个分量已经更新，与雅可比迭代法相比，高斯-塞德尔迭代是把更新过的分量代替式（2.4）第i个方程右端中的，于是，得到高斯-塞德尔迭代公式：算法2.2高斯-塞德尔迭代法。选定初值，对，计算（2.6）由式（2.6）及采用矩阵A的分裂记号式（2.3），可以得到，于是得到高斯-塞德尔迭代的矩阵表示形式：.（2.7）（3）SOR迭代的基本思想在高斯-塞德尔迭代式（2.6）中，第i个

5、迭代分量可以改写成上式等号右端的第二项可以看成是校正量，高斯-塞德尔迭代法相比，SOR迭代是把这个校正量乘上一个因子，于是得到SOR迭代公式。算法2.3SOR迭代法。选定初值，对，计算由上式及采用矩阵A的分裂记号式（2.3），可以得到,于是得到SOR迭代的矩阵表示形式：.(2.8)称为松弛因子。（4）SSOR迭代的基本思想在SOR迭代过程中，新向量的分量计算依次从第1到第n逐个进行，这个次序也可以倒过来，即如果两种次序的SOR迭代过程交替使用，就可以得到SSOR迭代公式。算法2.4SSOR迭代法。选定初值，对，计算由上式

6、及采用矩阵A的分裂记号式（2.3），可以得到从上面的第一式解出后，再化简可得例2.1试用雅可比迭代法、高斯-塞德尔迭代法、SOR迭代法以及SSOR迭代法计算线代数方程组取初值为，精确到（精确）。解构造雅可比迭代：，计算迭代到第43次结果为构造高斯-塞德尔迭代：对，计算迭代到第22次结果为构造SOR迭代：对，计算当取不同值时的迭代结果为；；；；；；；；；。构造SSOR迭代：对，计算当取不同值时的迭代结果为；；；；；；；；；。2.3范数及方程组的性态、条件数由于迭代法是通过迭代来逼近精确的，于是近似解向量与精确解向量之差趋于

7、零的收敛速度就是迭代法最为关心的问题，为了讨论迭代法的收敛性，我们需要引衡量向量和矩阵大小的度量概念——向量范数和矩阵范数。首先给出向量范数的定义：定义2.1对任意的向量，若对应一个非负实值函数，且满足：（1）正定性：，等号当且仅当时成立；（2）齐次性：对任意实数；（3）三角不等式：，则称为向量x的范数或模。在下面的例子中，给出了三个常用的向量范数：例2.2设，试证，，，满足向量范数定义中的三个条件，它们分别称为向量2范数、1范数和无穷范数。证明我们仅对向量2范数进行证明，向量1范数和向量无穷范数的证明由读者自己完成。

8、显然，满足定义2.1中条件（1）、（2），现在证明条件（3），对任意的，由柯西（Cauchy）不等式得,即条件（3）成立，于是是中的向量范数。现在给出矩阵范数的定义：定义2.2对任意的，若对应一个非负实值函数，且满足：（1）正定性：，等号当且仅当时成立；（2）齐次性：对任意实数，；（3）三角不等式；；（4），则称为矩